第04讲 新高考新结构命题下的新定义解答题综合训练（教师版）.docx

第04讲新高考新结构命题下的新定义

解答题综合训练

（6类核心考点精讲精练）

在新课标、新教材和新高考的“三新”背景下，高考改革又一次具有深度的向前推进。这不仅仅是一场考试形式的变革，更是对教育模式和教育理念的全面革新。

当前的高考试题设计，以“三维”减量增质为核心理念，力求在减少题目数量的同时，提升题目的质量和考查的深度。这具体体现在以下三个方面：

三考

题目设计着重考查学生的知识主干、学习能力和学科素养，确保试题能够全面、客观地反映学生的实际水平。

三重

强调对学生思维深度、创新精神和实际应用能力的考查，鼓励学生不拘泥于传统模式，展现个人的独特见解和创造力。

三突出

试题特别突出对学生思维过程、思维方法和创新能力的考查，通过精心设计的题目，引导学生深入思考和探索，培养逻辑思维和创新能力。

面对新高考新结构试卷的5个解答题，新定义版块作为一个重要的考查领域，通常在第19题这样的压轴大题中，分值为17分，将考查学生的解题能力和思维深度，是高考数学的分水岭，难度极大。

面对如此多变的命题趋势，教师在教学备考过程中必须与时俱进。根据知识点及其命题方式，要能够灵活应对，根据试题的实际情况调整教学策略。本文基于新高考新结构试卷的特点，结合具体的新定义解答题实例，旨在为广大师生提供一份详尽的新定义解答题综合训练指南，以期在新高考中取得更好的成绩。

考点一、函数及导数新定义综合

1．（2024·广西·二模）已知函数fx=lnx，若存在gx

(1)如果函数gx=tx?

(2)设函数Fx=fx

【答案】(1)(?

(2)函数F(x)是否存在零点，理由见解答

【分析】（1）把恒成立问题转换为求2xln

（2）把函数整理成F(x)=lnx?1ex+1

【详解】（1）由g(x)≤f(x)恒成立，可得tx

所以t≤2xlnx恒成立,令?(x)=2xln

当时,，在单调递减；

当x∈(1e，+∞)时,

所以的最小值为?(1e)=?2

实数t的取值范围(?∞

（2）由（1）可知2xlnx≥?2e，所以

又F(x)=f(x)?1ex

令G(x)=1e?

当时,，在单调递减；

当时,，在(1,+∞)单调递增；

所以G(x)≥G(1)=0，②

所以F(x)=ln

又①②中取等号的条件不同，所以

所以函数没有零点.

2．（2024·湖南·二模）罗尔定理是高等代数中微积分的三大定理之一，它与导数和函数的零点有关，是由法国数学家米歇尔·罗尔于1691年提出的．它的表达如下：如果函数满足在闭区间连续，在开区间内可导，且，那么在区间内至少存在一点，使得．

(1)运用罗尔定理证明：若函数在区间连续，在区间上可导，则存在，使得．

(2)已知函数，若对于区间内任意两个不相等的实数，都有成立，求实数的取值范围．

(3)证明：当时，有．

【答案】(1)证明见解析；

(2)；

(3)证明见解析.

【分析】（1）根据给定条件，构造函数，利用导数结合罗尔定理推导即得.

（2）求出函数的导数，利用（1）的结论建立恒成立的不等式，再利用导数求出函数的值域即得.

（3）构造函数，求出导数结合（1）的结论，借助不等式性质推理即得.

【详解】（1）令，则，

令函数，则，

显然在上连续，且在上可导，由罗尔定理，存在，使得，

即，所以.

（2）依题意，，

不妨令，则恒成立，

由（1）得，于是，即，

因此，令，

求导得，函数在上单调递增，则，

而函数在上单调递增，其值域为，

则，所以实数的取值范围是.

（3）令函数，显然函数在上可导，

由（1），存在，使得，

又，则，

因此，而，则，即，

所以.

【点睛】思路点睛：涉及函数新定义问题，理解新定义，找出数量关系，联想与题意有关的数学知识和方法，构造函数，转化、抽象为相应的函数问题作答.

3．（23-24高三下·山东菏泽·阶段练习）帕德近似是法国数学家亨利帕德发明的用有理多项式近似特定函数的方法.给定两个正整数，，函数在处的阶帕德近似定义为：，且满足：，，，，，注：，，，，

已知函数.

(1)求函数在处的阶帕德近似，并求的近似数精确到

(2)在（1）的条件下：

①求证：；

②若恒成立，求实数的取值范围.

【答案】(1)，

(2)①证明见解析；②

【分析】（1）先写出阶帕德近似，然后求导得到，，令得，所以，求导得到求解即可；

（2）令，，求导得到判断Fx在及上均单调递减，按照和分类讨论求解即可；

由已知令，且，所以是?x的极大值点，求导得到，故，，得到之后写出，然后求导判断单调性证明即可.

【详解】（1）由题可知函数在处的阶帕德近似，

则，，，

由得，所以，

则，又由得，所以，

由得，所以，

所以.

（2）①令，，

因为，

所以Fx在及上均单调递减.

当，，即，

而，所以，即，

当，，即，

而，所以，即，

所以不等式恒成立；

②由得在上恒成立，