第2讲　基本初等函数、函数与方程（3大考点+强化训练）解析版.docx

第2讲基本初等函数、函数与方程（3大考点+强化训练）

【知识导图】

【考点分析】

考点一基本初等函数的图象与性质

指数函数y＝ax(a0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a0，且a≠1)互为反函数，其图象关于y＝x对称，它们的图象和性质分0a1，a1两种情况，着重关注两种函数图象的异同．

1．（2024·全国·模拟预测）已知，则实数的大小关系为（????）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】由函数单调性，零点存在性定理及画出函数图象，得到，得到，求出，根据单调性得到，从而得到答案.

【详解】令，其在R上单调递减，

又，

由零点存在性定理得，

则在上单调递减，

画出与的函数图象，

??

可以得到，

又在R上单调递减，画出与的函数图象，

??

可以看出，

因为，故，故，

因为，故，

由得，．

综上，．

故选：D．

【点睛】指数和对数比较大小的方法有：（1）画出函数图象，数形结合得到大小关系；

（2）由函数单调性，可选取适当的“媒介”（通常以“0”或“1”为媒介），分别与要比较的数比较大小，从而间接地得出要比较的数的大小关系；

（3）作差（商）比较法是比较两个数值大小的常用方法，即对两值作差（商），看其值与0（1）的关系，从而确定所比两值的大小关系．

考点二函数的零点

判断函数零点个数的方法

(1)利用函数零点存在定理判断．

(2)代数法：求方程f(x)＝0的实数根．

(3)几何法：对于不易求根的方程，将它与函数y＝f(x)的图象联系起来，利用函数的性质找出零点或利用两个函数图象的交点求解．在利用函数性质时，可用求导的方法判断函数的单调性．

1．单选题（2024·全国·模拟预测）设是定义在上的奇函数，且当时，，则的零点个数为（????）

A．2 B．3 C．4 D．5

【答案】D

【分析】作出当时函数与的图象，数形结合确定此时函数的零点，再根据奇函数的性质确定以及时的零点，即可得答案.

【详解】依题意，作出函数与的图象，如图，

可知两个函数的图象有两个不同交点，即此时有两个零点；

又函数是定义域为的奇函数，故当时，也有两个零点，

函数是定义域为的奇函数，所以，即也是函数的1个零点，

综上所述，共有5个零点．

故选：D．

2．（单选题）如图，偶函数的图象形如字母M（图1），奇函数的图象形如字母N（图2），若方程，的实根个数分别为a，b，则（????）

??

A．18 B．21 C．24 D．27

【答案】A

【分析】结合函数图象把方程根的个数转化为函数图象的交点个数，可分别求得a，b进而可得答案.

【详解】解：由图象知，有3个根，0，，其中，

有3个根，0，，其中，

由，得或，

由图象可知所对每一个值都能有3个根，因而；

由，知或，

由图象可以看出，有3个根，

有4个根，

有2个根，加在一起也是9个，

即，，

故选：A.

3．多选题（2024·全国·模拟预测）设函数，函数．则下列说法正确的是（????）

A．当时，函数有3个零点

B．当时，函数只有1个零点

C．当时，函数有5个零点

D．存在实数，使得函数没有零点

【答案】ABC

【分析】当时，得或，当时，，问题转为，的交点个数，结合图象可得答案.

【详解】函数的零点个数即方程异根的个数，

当时，，则，，

由，有，所以或，

当时，，则，，

由，有，所以，

所以问题转为，的交点个数，

作出函数图象可知：

当，即时，有3个交点，即函数有4个零点，

当，即时，有4个交点，函数有5个零点，

当时，只有，函数只有1个零点，

当或即或时，有2个交点，函数有3个零点，

无论实数取何值，使得函数总有零点．

故选：ABC．

4．多选题（2023·山东德州·德州市第一中学校联考模拟预测）已知函数，下列结论正确的是（????）

A．若函数无极值点，则没有零点

B．若函数无零点，则没有极值点

C．若函数恰有一个零点，则可能恰有一个极值点

D．若函数有两个零点，则一定有两个极值点

【答案】AD

【分析】画出可能图象，结合图象判断选项即可.

【详解】??

，设

若函数无极值点则，则，

此时，即，所以，没有零点，如图①；

若函数无零点，则有，此时，

当时，先正再负再正，原函数先增再减再增，故有极值点，如图②；

若函数恰有一个零点，则，

此时，先正再负再正，原函数先增再减再增，有两个极值点，如图③；

若函数有两个零点，则，此时，先正再负再正，

函数先增再减再增，有两个极值点，如图④；

所以AD正确.

故选：AD.

5.填空题（2024上·江苏淮安期末）函数的零点所在的区间为，则正整数的值为．

【答案】

【分析】根据零点存在性定理和的单调性求解即可.

【详解】因为函数在上单调递增，

且，，

所以的零点所在的区间为，

所以正整数的值为，

故答案为：

考向1函数零点个数的判断