第02讲 平面向量的数量积（教师版）.docx

第02讲平面向量的数量积

（7类核心考点精讲精练）

1.5年真题考点分布

5年考情

考题示例

考点分析

关联考点

2024年新I卷，第3题,5分

向量垂直的坐标表示

平面向量线性运算的坐标表示

2024年新Ⅱ卷，第3题,5分

数量积的运算律

已知数量积求模

垂直关系的向量表示

模长的相关计算

2023年新I卷，第3题,5分

向量垂直的坐标表示

利用向量垂直求参数

平面向量线性运算的坐标表示

2023年新Ⅱ卷，第13题,5分

数量积的运算律

向量的模长运算

2022年新Ⅱ卷，第4题,5分

数量积及向量夹角的坐标表示

平面向量线性运算的坐标表示

2021年新I卷，第10题,5分

数量积的坐标表示

坐标计算向量的模

逆用和、差角的余弦公式化简、求值

二倍角的余弦公式

2021年新Ⅱ卷，第15题,5分

数量积的运算律

无

2020年新I卷，第7题,5分

用定义求向量的数量积

无

2.命题规律及备考策略

【命题规律】本节内容是新高考卷的必考内容，设题稳定，难度不定，分值为5分

【备考策略】1通过物理中功等实例理解平面向量数量积的概念及其物理意义,会计算平面向量的数量积

2会用数量积判断两个平面向量的垂直关系

3能用坐标表示平面向量的数量积，并会表示及计算两个平面向量的夹角

4会用向量方法解决简单的平面几何问题、力学问题以及其他实际问题,体会向量在解决数学和实际问题中的作用

5会用数量积解决向量中的最值及范围问题

【命题预测】本节一般考查平面向量数量积的表示和计算、在平面几何图形中的范围及最值等应用，易理解，易得分，需重点复习。

知识讲解

1．平面向量的数量积

定义

设两个非零向量a，b的夹角为θ，

则数量|a||b|cosθ叫做a与b的数量积，记作a·b

投影

|a|cosθ叫做向量a在b方向上的投影，

|b|cosθ叫做向量b在a方向上的投影

几何

意义

数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘积

向量数量积的运算律

(1)a·b＝b·a.

(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)．

(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c.

3．平面向量数量积的有关结论

已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ.

结论

几何表示

坐标表示

数量积

|a||b|cos

a·b＝x1x2＋y1y2

模

|a|＝eq\r(a·a)

|a|＝eq\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1))

夹角

cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)

cosθ＝eq\f(x1x2＋y1y2,\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1))·\r(x\o\al(2,2)＋y\o\al(2,2)))

a⊥b的充要条件

a·b＝0

x1x2＋y1y2＝0

|a·b|与|a||b|的关系

|a·b|≤|a||b|

|x1x2＋y1y2|≤eq\r(?x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1)??x\o\al(2,2)＋y\o\al(2,2)?)

数量积运算律要准确理解、应用，

例如，a·b＝a·c(a≠0)不能得出b＝c，两边不能约去一个向量．

2．a·b＝0不能推出a＝0或b＝0，因为a·b＝0时，有可能a⊥b.

3．在用|a|＝eq\r(a2)求向量的模时，一定要先求出a2再进行开方．

考点一、求平面向量的数量积

1．（2022·全国·高考真题）已知向量满足，则（????）

A． B． C．1 D．2

【答案】C

【分析】根据给定模长，利用向量的数量积运算求解即可.

【详解】解：∵，

又∵

∴9，

∴

故选：C.

2．（2024·山东潍坊·三模）已知向量，若，则实数

【答案】

【分析】根据向量线性运算和数量积公式得到方程，求出答案.

【详解】，

，

解得.

故答案为：

3．（2021·全国·高考真题）已知向量，，，．

【答案】

【分析】由已知可得，展开化简后可得结果.

【详解】由已知可得，

因此，.

故答案为：.

4．（2024·全国·模拟预测）如图所示，在边长为2的等边中，点为中线BD的三等分点（靠近点B），点F为BC的中点，则（????）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】由平面向量数量积公式以及平面向量基本定理求解结果.

【详解】由已知有，，，

所以．

已知是AC的中点，则，，

所以，

则．

故选：D．

1．（2023·全国·高考真题）正方形的边长是2，是的中点，则（????）

A． B．3 C． D．5

【答案】B

【分析】方法一：以为基底向量表示，再结合数量积的运算律运算求解；方法二：建系，利用平面向量的坐标运算求解；方法三：利用余弦定理求，进而根据数量积的定义运算求解.

【详解】方法一：以为基底向量，可知，