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安徽省天长市第二中学2024届高三最后一模数学试题

请考生注意：

1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。

2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．若是定义域为的奇函数，且，则

A．的值域为 B．为周期函数，且6为其一个周期

C．的图像关于对称 D．函数的零点有无穷多个

2．已知定义在上的函数，若函数为偶函数，且对任意，，都有，若，则实数的取值范围是（）

A． B． C． D．

3．在平面直角坐标系中，若不等式组所表示的平面区域内存在点，使不等式成立，则实数的取值范围为（）

A． B． C． D．

4．已知平面平面，且是正方形，在正方形内部有一点，满足与平面所成的角相等，则点的轨迹长度为（）

A． B．16 C． D．

5．已知函数，，若总有恒成立.记的最小值为，则的最大值为（）

A．1 B． C． D．

6．抛物线的焦点为，准线为，，是抛物线上的两个动点，且满足，设线段的中点在上的投影为，则的最大值是（）

A． B． C． D．

7．已知角的终边经过点,则

A． B．

C． D．

8．已知实数x，y满足约束条件，若的最大值为2，则实数k的值为（）

A．1 B． C．2 D．

9．已知向量，且，则等于（）

A．4 B．3 C．2 D．1

10．已知，是椭圆与双曲线的公共焦点，是它们的一个公共点，且，椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，若，则的最小值为（）

A． B． C．8 D．6

11．在中所对的边分别是，若，则（）

A．37 B．13 C． D．

12．在空间直角坐标系中，四面体各顶点坐标分别为：．假设蚂蚁窝在点，一只蚂蚁从点出发，需要在，上分别任意选择一点留下信息，然后再返回点．那么完成这个工作所需要走的最短路径长度是（）

A． B． C． D．

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．三棱柱中，，侧棱底面，且三棱柱的侧面积为.若该三棱柱的顶点都在同一个球的表面上，则球的表面积的最小值为_____．

14．已知实数，对任意，有，且，则______.

15．已知实数满足，则的最小值是______________.

16．已知定义在上的函数的图象关于点对称,,若函数图象与函数图象的交点为,则_____．

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（12分）在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数，将曲线经过伸缩变换后得到曲线.在以原点为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线的极坐标方程为.

（1）说明曲线是哪一种曲线，并将曲线的方程化为极坐标方程；

（2）已知点是曲线上的任意一点，又直线上有两点和，且，又点的极角为，点的极角为锐角.求：

①点的极角；

②面积的取值范围.

18．（12分）如图，在三棱柱中，平面ABC.

（1）证明：平面平面

（2）求二面角的余弦值.

19．（12分）已知函数，，设．

（1）当时，求函数的单调区间；

（2）设方程（其中为常数）的两根分别为，，证明：．

（注：是的导函数）

20．（12分）已知等差数列满足，公差，等比数列满足，，．

求数列，的通项公式；

若数列满足，求的前项和．

21．（12分）已知二阶矩阵A=abcd，矩阵A属于特征值λ1=-1的一个特征向量为α1

22．（10分）已知函数和的图象关于原点对称，且．

（1）解关于的不等式；

（2）如果对，不等式恒成立，求实数的取值范围．

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、D

【解析】

运用函数的奇偶性定义，周期性定义，根据表达式判断即可.

【详解】

是定义域为的奇函数，则，，

又，，

即是以4为周期的函数，，

所以函数的零点有无穷多个；

因为，，令，则，

即，所以的图象关于对称，

由题意无法求出的值域，

所以本题答案为D.

【点睛】

本题综合考查了函数的性质，主要是抽象函数的性质，运用数学式子判断得出结论是关键.

2、A

【解析】

根据题意，分析可得函数的图象关于对称且在上为减函数，则不等式等价于，解得的取值范围，即可得答案.

【详解】

解:因为函数为偶函数，

所以函数的图象关于对称，

因为对任意，，都有，

所以函数在上为减函数，

则，

解得：.

即实数的取值范围是.

故选：A.

【点睛】

本题考查函数的对称性与单调性的综合应用，涉及不等式的解法，属于综合题.

3、B

【解析】

依据线性约束条件画出