概率论与数理统计第一章.pptVIP

概率论与数理统计;序;*;三、全概率公式;*;*;*;*;*;*;1.1随机试验、样本空间和随机事件;*;*;*;*;例2;*;例4;5、序贯模型;*;三、事件的关系和运算;1.事件的并〔和〕;2.事件的交〔积〕;称事件A不出现这一事件为A的对立事件〔逆事件〕，记为.

用集合表示，

由定义可知，A也是的对立事件，即

且

显然;4.事件的差;5.事件的的包含与相等;例如:

考察某动物的年龄，事件A表示“存活3年的动物”，事件B表示“存活5年的动物”，问A和B的关系.

如果用X表示这种动物的年龄，那么

事件A={X≥3}，B={X≥5}

于是;6.互不相容〔互斥〕事件;7.完备事件组〔分割〕;总结;*;*;*;*;例〔序贯树形图表示样本空间〕;*;1.2事件的概率;概率Chapter1-2;概率模型的构成：;概率与频率;*;概率的根本性质;例1给掷一枚硬币的试验建立概率模型.

解：掷一枚硬币，有两个可能的结果：正面和反面。假设用表示正面，表示反面，那么样本空间为：。事件为：

如果硬币是均匀的，正面和反面出现的时机相同，这两个结果出现的概率应该相同，即;由可加性和归一性知

由此可得：

显然，以上建立的概率满足三条公理.

;*;*;*;例1.2.4(练习);求n个人〔n365〕中至少有两个人同生日的概率.

解：根本领件的总数为

设A表示“至少有两个人的生日在同一天”，那么表示“任何两个人的生日都不在同一天，包含个根本领件

于是，

下面是给出n的数值，得到的一些具体结果：;例1.2.6〔抽签的合理性〕;*;*;*;*;三、几何概型;例8设公共汽车每5分钟一班，求乘客在车站等车时间不超过3分钟的概率〔停车时间忽略不计〕。

分析:由于公共汽车5分钟一班,故乘客的等车时间是0~5中间的一个数.因此样本空间

而乘客到达车站的时间是随机的，我们可以认为[0,5]中的每一个时刻在等车时出现的可能性是相等的。这样，我们考虑一个单点在试验中出现的可能性。;实际上，必然有即等车时间恰好等于某一时刻的概率为0.

否那么的话，假设单点出现的概率为正，即

根据等可能性,我们可以找到无限多个这样的点其中

设事件根据可加性，

对足够大的n，有

与归一性矛盾.;对于几何概型，我们可以按照下面的公式计算事件的概率：

这里的“测度”指长度、面积、体积等.

例如上例中，设B表示“等车时间不超过3分钟”，那么B=[0,3],而于是;四、概率的性质;性质2〔加法公式〕

证明：由图所示,可将事件

和B分解成不相容的事件之和：

利用可加性公理，得到

两式相减后移项合并

根据性质2和非负性公理，很容易得到：;加法公式可以推广到n(n2)个事件的情形〔称为容斥原理〕.例如对于三个事件A、B、C，反复利用性质2可以得到：;性质3

证明：由图所示,可以分解成三个互不相容的事件的并集：

重复利用可加性公理即可证得。;例;*;*;*;*;*;*;*;条件概率的定义:

设A，B是两个事件，且P(B)0，称

为在事件B下，事件A的条件概率.

如果P(B)=0，相应的条件概率没有定义.;1、由于

即条件概率完全集中在B上，故我们可以将事件B以外的结果排除掉，并把B看成新的样本空间。

2、如果P(A)0,条件概率的定义也可以写成

3、对于给定的事件B,条件概率满足概率的3条公理.;例如:设和是任意两个不相容的事件,那么：;例1在连续三次抛掷一个两面均匀的硬币的试验中，求：

(1)第一次抛得正面，正面出现的次数多于反面出现的次数的概率；

(2)第一次抛得正面，求正面出现的次数多于反面出现的次数的概率。

解：用“1”表示出现正面，用“0”表示出现反面，那么该试验的样本空间为

用A表示“正面出现的次数多于反面出现的次数”，B表示“第一次抛得正面”，那么;(1)由于事件“第一次抛得正面，正面出现的次数多于反面出现的次数”可表示为

而故

(2)第一次抛得正面，求正面出现的次数多于反面出现的次数的概率为：

而