高考数学创新版全国通用讲义第三章导数及其应用第15讲.doc

第15讲利用导数研究函数的单调性

考试要求1.函数单调性与导数的关系(A级要求)；2.利用导数研究函数的单调性，求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次)(B级要求).

诊断自测

1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)

(1)若函数f(x)在(a，b)内单调递增，那么一定有f′(x)＞0.()

(2)如果函数f(x)在某个区间内恒有f′(x)＝0，则f(x)在此区间内没有单调性.()

(3)f′(x)＞0是f(x)为增函数的充要条件.()

解析(1)若函数f(x)在(a，b)内单调递增一定有f′(x)≥0，且不恒为0，故①错.(3)f′(x)0是f(x)为增函数的充分不必要条件.如f(x)＝x3在R上为增函数，但

f′(x)≥0，故(3)错.

答案(1)×(2)√(3)×

2.(选修2－2P29练习4(1)改编)函数f(x)＝x2－2lnx的单调递减区间是________.

解析∵f′(x)＝2x－eq\f(2,x)＝eq\f(2（x＋1）（x－1）,x)(x＞0).

∴当x∈(0，1)时f′(x)＜0，f(x)为减函数；

当x∈(1，＋∞)时，f′(x)＞0，f(x)为增函数.

答案(0，1)

3.在区间(－1，1)内不是增函数的函数是________(填序号).

①y＝ex＋x；②y＝sinx；③y＝x3－6x2＋9x＋2；④y＝x2＋x＋1.

解析①y＝ex＋x，y′＝ex＋10，在区间(－1，1)内是增函数；

②y＝sinx，y′＝cosx，在区间(－1，1)内是增函数；

③y＝x3－6x2＋9x＋2，y′＝3x2－12x＋9＝3(x－2)2－3，在区间(－1，1)内是增函数；

④y＝x2＋x＋1，y′＝2x＋1，在区间eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，1))内y′0，在区间eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，－\f(1,2)))内y′0，在区间(－1，1)内不单调.

答案④

4.已知f(x)＝x3－ax在[1，＋∞)是增函数，则实数a的取值范围是________.

解析f′(x)＝3x2－a，由题意知3x2－a≥0，即a≤3x2在x∈[1，＋∞)恒成立.又当x∈[1，＋∞)时，3x2≥3，∴a≤3，∴a的取值范围是(－∞，3].

答案(－∞，3]

5.(2018·南京、盐城模拟)函数y＝f(x)的定义域为R，f(－1)＝2，对任意x∈R，

f′(x)2，则f(x)2x＋4的解集为________.

解析设F(x)＝f(x)－(2x＋4)，则F(－1)＝f(－1)－(－2＋4)＝2－2＝0.

F′(x)＝f′(x)－2，对任意x∈R，F′(x)0，

即函数F(x)在R上是单调增函数，

则F(x)0的解集为(－1，＋∞)，

故f(x)2x＋4的解集为(－1，＋∞).

答案(－1，＋∞)

知识梳理

1.函数的单调性与导数的关系

已知函数f(x)在某个区间内可导，

(1)如果f′(x)＞0，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递增；

(2)如果f′(x)＜0，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递减.

2.利用导数求函数单调区间的基本步骤是：

(1)确定函数f(x)的定义域；

(2)求导数f′(x)；

(3)由f′(x)＞0(或＜0)解出相应的x的取值范围.当f′(x)＞0时，f(x)在相应的区间内是单调递增函数；当f′(x)＜0时，f(x)在相应的区间内是单调递减函数.

一般需要通过列表，写出函数的单调区间.

3.已知单调性求解参数范围的步骤为：

(1)对含参数的函数f(x)求导得到f′(x)；

(2)若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则f′(x)≥0恒成立；若函数f(x)在[a，b]上单调递减，则f′(x)≤0恒成立，得到关于参数的不等式，解出参数范围；

(3)验证参数范围中取等号时，是否恒有f′(x)＝0.若f′(x)＝0恒成立，则函数f(x)在(a，b)上为常数函数，舍去此参数值.

考点一求单调区间

【例1】已知函数f(x)＝eq\f(x,4)＋eq\f(a,x)－lnx－eq\f(3,2)，其中a∈R，且曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线垂直于直线y＝eq\f(1,2)x.

(1)求a的值；

(2)求函数f(x)的单调区间.

解(1)对f(x)求导得f′(x)＝eq\f(1,4)－eq\f(a,x2)－eq\f(1,x)，

由f(x)在点(1，f(1))处的切线垂直于直线y＝eq\f(1,2)x知f′(1)＝－eq\f(3,4)－a＝－2，

解得a＝eq\f(5,4).

(2)由(1)知f(x)＝eq\f(x,4)＋eq\f(