安康学院《复变函数》2023-2024学年期末模拟试卷.docxVIP

安康学院《复变函数》2023-2024学年期末模拟试卷

学校：__________姓名：__________班级：__________考号：__________

一、判断题

1．对任意的z≠0，必有Lnz2=2Lnz.()

2．设函数fn(z)(n=1,2,…)在区域D内连续，且级数在D内收敛于函数f(z)，则f(z)在区域D内连续.()

3．若函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在区域D内解析，则在D内有f′(z)=ux+ivy.()

4．映射w=f(z)在点z0的伸缩率与过点z0的曲线C的形状有关.()

5．若数列{zn}收敛，则{Rezn}与{Imzn}也都收敛.（）

6．若是f(z)的一阶极点，则.()

7．幂级数在单位开圆盘1上绝对并且一致收敛.

8．级数在|z|1上一致收敛.()

9．若函数f(z)在点a可导，则f(z)在点a解析。()

10．若v是u的共轭调和函数，则v的共轭调和函数是u.()

二、填空题

11．方程z8+3z3-1=0在单位圆|z|1内有________个根.

12．方程z7-5z4+z2-2=0在单位圆内有______个根．

13．圆周|z|=2在映射w=下的像为___________.

14．若z0是f(z)的m阶零点且m1，则z0是f′(z)的______阶零点.

15．___________.

16．在复数x+iy中满足______的i称为虚数单位.

17．方程+z=c（是非零复常数，c是实常数）所表示的z的轨迹为_____.

18．设z=x+iy,其中x0,y0,则argz=________________（-πargzπ）.

19．变换w=lnz把z平面上倾角为θ=的射线变成w平面上的_______.

20．记号f(z)表示________。

三、计算题

21．求积分的值，其中C为从0到2πa的摆线:.

22．求dz之值．

23．证明z7+5z5-z2+z+1=0在|z|1内有5个零点.

24．求函数f(z)=在区域1|z|内的洛朗(Laurent)展开式.

25．设函数f(z)在区域D内解析，在D内不为常数且无零点，证明：|f(z)|不能在D内取得最小值.

26．利用留数理论计算积分

.

27．求将点1，i，1+i分别变换成0，2i，1-i的分式线性变换.

28．设z平面上的圆周由方程Az+β+z+C=0表示，其中A、C为实数，A≠0,β为复数，且｜β｜2AC，求该圆周的圆心和半径.

29．设|z|=1,试证=1.

30．说明函数f(z)=|z|在z平面上任何点都不解析。