2025年中考数学几何模型归纳训练(全国通用)专题28解直角三角形模型之实际应用模型解读与提分精练（附解析）.docxVIP

专题28解直角三角形模型之实际应用模型

解直角三角形是中考的重要内容之一（也可理解为相似三角形的一种特殊情况），直角三角形边、角关系的知识是解直角三角形的基础。将实际问题转化为数学问题是关键，通常是通过作高线或垂线转化为解直角三角形问题，在解直角三角形时要注意三角函数的选取，避免计算复杂。在解题中，若求解的边、角不在直角三角形中，应先添加辅助线,构造直角三角形。为了提高解题和得分能力，本专题重点讲解解直角三角形的实际应用模型。

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模型1.背靠背模型 2

模型2.母子模型 6

模型3.拥抱模型 12

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【知识储备】

图1图2图3图4图5

如图1，30°-60°-90°三边比值；如图2，45°-45°-90°三边比值

如图3，30°-30°-120°三边比值；如图4，30°-45°-105°三边比值

如图5，45°-60°-75°三边比值。

上面五个结论在于运用勾股定理和方程，当然也可用三角函数。其实三角函数相关题目的辅助线也是类似，即作垂线，把角放在直角三角形中来研究。希望同学能够自己动手计算并研究记忆这些特殊角度三角形的三边比值，这些结论在选填题特别好用。

模型1.背靠背模型

背靠背模型：如图，若三角形中有已知角时，则通过在三角形内作高CD，构造出两个直角三角形求解，其中公共边（高）CD是解题的关键。

图1图2图3图4图5

重要等量关系：如图1，CD为公共边，则AD+BD=AB；如图2，CE=DA，CD=EA，则CE+BD=AB；

如图3，CD=EF，CE=DF，则AD+CE+BF=AB；如图4，DE=BF，BD=EF，则AE+EF=AF；

如图5，BE=CF，CE=BF，则AE+EB=AB。

例1．（2024·黑龙江绥化·中考真题）如图，用热气球的探测器测一栋楼的高度，从热气球上的点测得该楼顶部点的仰角为，测得底部点的俯角为，点与楼的水平距离，则这栋楼的高度为m（结果保留根号）．

例2．（2024·山东泰安·中考真题）在综合实践课上，数学兴趣小组用所学数学知识测量大汶河某河段的宽度，他们在河岸一侧的瞭望台上放飞一只无人机，如图，无人机在河上方距水面高60米的点处测得瞭望台正对岸A处的俯角为，测得瞭望台顶端处的俯角为，已知瞭望台高12米（图中点，，，在同一平面内），那么大汶河此河段的宽为米．（参考数据：，，，）

例3．（2023·辽宁大连·模拟预测）如图，是某市在城区河道上新建成的一座大桥，学校数学兴趣小组在一次数学实践活动中对桥墩的高度进行了测量，测得斜坡长为50米，，在斜坡顶端C处水平地面上以的速度行走半分钟到达点D，在点D处测得桥墩最高点A的仰角为．

(1)水平地面长为米；

(2)求桥墩的高（结果保留1位小数）．（参考数据：，，，）

例4．（2024·山东青岛·中考真题）“滑滑梯”是同学们小时候经常玩的游戏，滑梯的坡角越小，安全性越高．从安全性及适用性出发，小亮同学对所在小区的一处滑梯进行调研，制定了如下改造方案，请你帮小亮解决方案中的问题．

方案名称

滑梯安全改造

测量工具

测角仪、皮尺等

方案设计

如图，将滑梯顶端拓宽为，使，并将原来的滑梯改为，（图中所有点均在同一平面内，点在同一直线上，点在同一直线上）

测量数据

【步骤一】利用皮尺测量滑梯的高度；

【步骤二】在点处用测角仪测得；

【步骤三】在点处用测角仪测得．

解决问题

调整后的滑梯会多占多长一段地面？（即求的长）

（参考数据：）

模型2.母子模型

图1图2图3图4

母子模型：若三角形中有已知角，通过在三角形外作高BC，构造有公共直角的两个三角形求解，其中公共边BC是解题的关键。

重要等量关系：如图1，BC为公共边，AD+DC=AC；如图2，BC为公共边，DC-BC=DB；

如图3，DF=EC，DE=FC，BF+DE=BC，AE+DF=AC；如图4，AF=CE，AC=FE，BC+AF=BE。

图5图6图7图8图9

如图5，BE+EC=BC；如图6，EC-