2025年中考数学几何模型归纳训练(全国通用)专题40最值模型之代数法求最值模型(基本不等式与判别式法、函数法)（附解析）.docxVIP

专题40最值模型之代数法求最值模型（基本不等式与判别式法、函数法）

几何中最值问题是中考的常见题型，变幻无穷，试题设计新颖，形式活泼，涵盖知识面广，综合性强。在各地中考数学试卷中，几何最值问题也是重难点内容，在中考数学试卷中通常出现在压轴题的位置。

本专题我们所讲的代数法求几何最值是对前面几何法求最值模型的一个补充，那首先我们弄明白什么是几何法？什么是代数法？若题目条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用图形性质来解决，这就是几何法。若题目条件和结论能明显体现某种函数或代数关系，则可先建立目标函数或方程，再求函数或代数式的最值，这就是代数法。今天我们重点讲解代数法常见的三类方法：函数法（二次函数或一次函数）、判别式法或基本不等式法，希望对大家有所帮助！

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模型1.函数法求几何最值模型 1

模型2.基本不等式法求几何最值模型 7

模型3.判别式法求几何最值模型 11

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模型1.函数法求几何最值模型

在实际的解题中，如果求的是一条线段的最值或是几条线段和（或差）的最值，那么首选是尝试套用常见的基本的几何模型，若未能够直接套用几何模型，那么可以先分析题目中和动点有关的数量关系，特别是一些变化过程中的不变量，通过数量关系的转化，将其化归为常见的基本的几何模型（如将军饮马模型，胡不归模型，阿氏圆模型等），从而解决问题。若不能用几何模型求解，则可以寻找其中隐藏的函数关系，然后构建函数模型解决最值问题。

建立函数模型求最值一般需要以下几个步骤：（1）选择自变量，确定自变量的取值范围；（2）求得函数解析式；（3）在自变量取值范围内利用配方或函数图象的最高点（或最低点），二次函数需结合顶点公式，求得函数的最大值（或最小值），一次函数则考虑增减性和自变量的范围。

例1．（2024·陕西西安·校考一模）如图，在四边形中，，，，，则的最小值是．

??

例2．（2023·广东茂名·三模）如图，已知的弦，A为上一动点（点A与点C、D不重合），连接并延长交于点E，交于点B，P为上一点，当时，则的最大值为（）

A．4 B．6 C．8 D．

例3．（2024·安徽合肥·一模）如图，P是线段上一动点，四边形和四边形是位于直线同侧的两个正方形，点C，D分别是的中点，若，则下列结论错误的是（????）

A．为定值 B．当时，的值为

C．周长的最小值为 D．面积的最大值为2

例4．（23-24九年级上·四川成都·期末）如图，中，，，，点D是边上任意一点，以为边在的右侧作等边，则面积的最大值为．

??

例5．（23-24八年级下·四川成都·期中）如图，在边长为6的等边△ABC中，点D在边AB上，且AD＝2，长度为1的线段PQ在边AC上运动，则线段DP的最小值为，四边形DPQB面积的最大值为．

模型2.基本不等式法求几何最值模型

有时候设取变量后，代数式并不太容易转化为二次函数，特别是含有分式与整式的混合代数式求最值显得特别麻烦，针对这种情况我们引入两个重要不等式：

1）（当a=b时，取等号）；2）（其中a、b为正数，当a=b时，取等号）；

1）（当a=b时，取等号）；2）（其中a、b为正数，当a=b时，取等号）；

证明：1）作差法：∵a2+b2-2ab=(a-b)2≥0，，当且仅当“a＝b”时，等号成立．

2）作差法：

∵0，∴，当且仅当“a＝b”时，等号成立．

例1．（2017·四川绵阳·中考真题）将形状、大小完全相同的两个等腰三角形如图所示放置，点D在AB边上，△DEF绕点D旋转，腰DF和底边DE分别交△CAB的两腰CA，CB于M，N两点，若CA=5，AB=6，AB=1：3，则MD+的最小值为．

例2．（2024·浙江·模拟预测）如图，点是上的一个动点，是的直径，且，则面积的最大值是，周长的最大值是．

例3．（2023·四川成都·一模）如图，在矩形中，，，点P为边上一动点，连接交对角线于点E，过点E作，交于点F，连接交于点G，在点P的运动过程中，面积的最小值为．

例4．（2023·广东东莞·校考模拟预测）如图所示，是半圆的直径，是上一动点，，交半圆于点，是半圆的切线，是切点．点、点都是不动点．

(1)求证:；(2)连接，则点在哪个位置时，线段与线段之和最大？

模型3.判别式法求几何最值模型

判别式法求几何最值的步骤：

首先主要引入两个变量：其中一个变量用x表示，另一个变量为所求量（一般为长度、比值的最值）用其他字母表示，常用y或其他字母表示即可；再根据题设条件建立关于x的一元二次方程；最后用Δ≥0来探求y的最大值与最小值。

注意：运用判别式法求最值时，