2024—2025学年上海市行知中学高二上学期期末考试数学试卷.docVIP

2024—2025学年上海市行知中学高二上学期期末考试数学试卷

一、填空题

(★)1.椭圆的离心率为_____．

(★★)2.直线恒过定点_____．

(★★)3.已知某圆锥的侧面展开图是圆心角为，半径为2的扇形，则该圆锥的母线与底面所成角的大小为________．

(★★)4.某学生参加两次英语高考，已知第一次超过130分的概率是0.5，第二次超过130分的概率是0.7，两次都超过130分的概率是0.3，则两次考试中至少有一次超过130分的概率为_____．

(★★)5.的二项展开式中的常数项为_____．

(★)6.若椭圆的左焦点在抛物线（）的准线上，则的值为_____．

(★★★)7.已知，，，，点在直线上运动，当取最小值时，点的坐标是_____．

(★★★)8.设直线和圆相交于点A、B，则弦AB的长度是_________．

(★★)9.已知，则_____．

(★★)10.有4名学生报名参加“行知杯”足球赛和“灵辰杯”篮球赛两项比赛，每人至少报一项，每项比赛参加人数不限，则不同的报名结果有_____种．

(★★★)11.如图，已知直四棱柱的所有棱长等于1，，和分别是上下底面对角线的交点，在线段上，，点在线段上移动，则三棱锥的体积最小值为_____．

(★★★)12.抛物线的焦点为，准线为，，是抛物线上的两个动点，且满足．设线段的中点在准线上的投影为，则的最大值是_____．

二、单选题

(★★)13.已知是两个不同的平面，a，b是两条不同的直线，下列条件中，一定得到直线的是（）

A．

B．

C．

D．

(★★)14.行知中学高二年级有10位同学在某竞赛中获奖，现排成两排拍照，每排5人，则不同的排列种数是（）

A．

B．

C．

D．

(★)15.下列事件是必然事件的是（）

A．从分别标有数字1，2，3，4，5的5张标签中任取一张，得到标有数字4的标签

B．底面是正方形的四棱柱是正四棱柱

C．平行于同一条直线的两条直线互相平行

D．有公共点的两个圆相切

(★★)16.已知圆，，动圆满足与外切且与内切，若为上的动点，且，则的最小值为（）

A．

B．

C．4

D．

三、解答题

(★★★)17.如图，四棱锥的底面是矩形，底面，，，四棱锥的体积为，为的中点．

(1)求证：；

(2)求直线与平面所成的角的大小．（结果用反三角表示）

(★★)18.某学校每天安排4项课后服务供学生自愿选择参加．学校规定：

①每位学生每天最多选择1项；

②每位学生每项一周最多选择1次．学校提供的安排表如下：

时间

周一

周二

周三

周四

周五

课后服务

音乐、阅读、体育、编程

口语、阅读、编程、美术

手工、阅读、科技、体育

口语、阅读、体育、编程

音乐、口语、美术、科技

(1)若学生甲仅在周一和周二参加了课后服务课程，写出实验的样本空间Ω；

(2)若学生乙一周内有三天参加了课后服务课程，共选择了阅读、体育、编程3项，则共有多少种不同的选择方案?并求这些方案中事件：“周一选择阅读”发生的概率．

(★★★)19.树林的边界是直线（如图所在直线），一只兔子在河边喝水时发现了一只狼，兔子和狼分别位于的垂线上的点点点处，米，若兔子沿方向以4米每秒的速度向树林逃跑，同时狼沿线段方向以2米每秒的速度进行追击，若狼到达处的时间不多于兔子到达处的时间，狼就会吃掉兔子．

(1)求兔子被狼吃掉的点的区域面积；

(2)若兔子要想不被狼吃掉，求锐角的取值范围．

(★★★)20.已知函数，为正整数．

(1)当，且时，求的值；

(2)当，且时，从，，，，中任取一个数，求取到的数为有理数的概率；

(3)当，且时，若对任意的，，都有，求正整数的值．

(★★★★)21.在平面直角坐标系中，已知椭圆，过右焦点作两条互相垂直的弦，，设，中点分别为，．

(1)写出椭圆右焦点的坐标及该椭圆的长轴长；

(2)证明：直线必过定点，并求出此定点坐标；

(3