专题11 累加、累乘、构造、递推法求数列通项公式（4大题型）-2025年高考数学二轮热点题型归纳与变式演练（新高考通用）（解析版）.docx

专题11累加、累乘、构造、递推法求数列通项公式

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TOC\o1-1\h\u题型01累加法 1

题型02累乘法 3

题型03构造法 6

题型04递推法 12

题型01累加法

【解题规律·提分快招】

1、累加法

形如型的递推数列（其中是关于的函数）可构造：

将上述个式子两边分别相加，可得：

=1\*GB3①若是关于的一次函数，累加后可转化为等差数列求和；

=2\*GB3②若是关于的指数函数，累加后可转化为等比数列求和；

=3\*GB3③若是关于的二次函数，累加后可分组求和；

=4\*GB3④若是关于的分式函数，累加后可裂项求和．

【典例训练】

一、填空题

1．（2024高三·全国·专题练习）已知在数列中，，，则数列的通项公式为.

【答案】

【分析】根据已知条件，利用累加法即可求解.

【详解】因为，，

所以，，，…，（），

将以上各等式左右两边分别相加得，

又，所以（），经验证也满足该式，

所以所求数列的通项公式为.

故答案为：.

2．（2024高三·全国·专题练习）已知，，则通项公式.

【答案】

【分析】利用累加法，结合等差数列前项和公式，即可求得结果.

【详解】因为，即，

故，，，，，

以上各式相加得.

又，所以，而也适合上式，故.

故答案为：.

3．（2025高三·全国·专题练习）若数列是首项为1，公比为3的等比数列，则数列的通项公式是.

【答案】.

【分析】根据等比数列求和公式先求出数列的通项公式，再根据累加法以及等比数列求和公式求出.

【详解】由题意可知，

所以，

又满足上式，所以.

故答案为：.

4．（2024高三·全国·专题练习）在数列中，，，则该数列的通项公式为.

【答案】

【分析】根据数列递推式，对进行赋值累加，整理即得数列的通项公式.

【详解】由题意，,且，

当时，

．

当时，也满足该式，

故数列的通项公式为．

故答案为：

5．（2024·四川德阳·模拟预测）已知数列满足，且对任意，有，则.

【答案】

【分析】利用累加法求得.

【详解】依题意，

，

，

，

，

……

，

，

上述个式子相加得.

故答案为：

题型02累乘法

【解题规律·提分快招】

1、累乘法

形如型的递推数列（其中是关于的函数）可构造：

将上述个式子两边分别相乘，可得：

有时若不能直接用，可变形成这种形式，然后用这种方法求解．

【典例训练】

一、单选题

1．（23-24高三下·河南南阳·阶段练习）已知数列满足，，则（????）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】利用累乘法计算出答案.

【详解】

故选：B

2．（23-24高三上·海南省直辖县级单位·阶段练习）已知数列满足，若，则（????）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】运用累乘法，结合余弦函数的周期性进行求解即可.

【详解】函数的最小正周期为，

所以有

故选：D

二、填空题

3．（23-24高三上·内蒙古·期末）在数列中，，则．

【答案】

【分析】根据题设中的递推公式特征选择累乘法进行赋值即可求得.

【详解】因，故有，即得，

所以．

故答案为：.

4．（2024·黑龙江齐齐哈尔·一模）数列中，，当时，，则数列的通项公式为.

【答案】

【分析】根据累乘法求通项公式即可.

【详解】因为，，

所以，，，…，，

累乘得，，

所以，，

由于，所以，，

显然当时，满足，

所以，

故答案为：.

5．（2024高三·全国·专题练习）已知数列{an}满足，a1＝1，则a2023＝

【答案】4045

【详解】

∵＝2n，∴an＋1＋an＝2n(an＋1－an)，即(1－2n)an＋1＝(－2n－1)an，可得＝，∴a2023＝×××…×××a1＝××…×××1＝4045.

6．（23-24高三下·安徽马鞍山·开学考试）已知数列满足，则的最小值为．

【答案】

【分析】由题意可得数列是首项为，公比为的等比数列，由累乘法求出，结合指数函数和二次函数的性质求即可得出答案.

【详解】因为，所以，

所以，因此数列是首项为，公比为的等比数列，

所以，

当时，，

因为时，，所以，

因此当或时，取得最小值，为.

故答案为：.

题型03构造法

【解题规律·提分快招】

1、形如（其中均为常数且）型的递推式

（1）若时，数列{}为等差数列；

（2）若时，数列{}为等比数列；

（3）若且时，数列{}为线性递推数列，其通项可通过待定系数法构造等比数列来求．方法有如下两种：

法一：设，展开移项整理得，与题设比较系数（待定系数法）得，即构成以