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高一数学小结复习北师大版必修四

【本讲教育信息】

一、教学内容：

必修四小结复习

二、学习目标

1、通过实例，学习三角函数及其根本性质，体会三角函数在解决具有周期变化规律的问题中的作用；

2、了解向量丰富的实际背景，理解平面向量及其运算的意义，能用向量语言和方法表述和解决数学和物理中的一些问题，开展运算能力和解决实际问题的能力；

3、运用向量的方法推导根本的三角恒等变换公式，由此出发导出其他的三角恒等变换公式，并能运用这些公式进行简单的恒等变换。

三、知识要点

1、任意角——将一条射线绕着它的一个端点旋转并规定了旋转方向〔沿着逆时针方向为正方向〕所形成的图形，有正角、负角和零角之分；

2、弧度制——规定：长度等于半径的弧所对的圆心角为1弧度，记作：1rad。

3、任意角的三角函数——在坐标系中，利用角的终边上任意一点的坐标来定义；

4、三角函数线与诱导公式——借助三角函数线推导诱导公式

5、三角函数图像与性质——通过函数线作图、变换作图〔平移、伸缩、对称〕

6、同角三角函数的根本关系式——平方关系、商数关系

7、函数的图像与性质——观察参数对函数图像变化的影响；

8、平面向量的实际背景与根本概念——物理学背景；向量、相等向量、相反向量、共线向量、零向量、单位向量等；

9、向量的线性运算——加、减、数乘

10、平面向量的根本定理与坐标表示——平面向量的根本定理是建立向量坐标平面的理论依据；向量运算的坐标表示

11、平面向量的数量积及其应用——求线段长度与夹角；证明垂直关系

12、两角和与差的三角函数公式——由两角差的余弦公式导出和角公式与差角公式，进而导出积化和差公式、和差化积公式、二倍角公式、半角公式

四、考点解析与典型例题

考点一：求角

例1、，求的值。

【解】由题意，或。因为，故。

【说明】此类题型可先在R上求出符合等式条件的角，然后确定k值，进而求出符合题意的解。

考点二：求三角函数〔式〕值

例2、

【解】

考点三：证明三角恒等式

例3、

【证明】由条件可知：

又因为，从而左边=

，

右边=

左边=右边，所以等式成立。

考点四：证明三角不等式或利用三角函数证明不等关系

例4、：，求证：。

【证明】设，，，，那么

，

故。

【说明】如果条件中有，可作代换，；如果条件中有，可作代换，；如果条件中有，可作代换，；如果条件中有，可作代换；如果条件中有，那么可作代换，。

考点五：三角函数式的化简或求值

例5、不查表求sin220°+cos280°+cos20°cos80°

【解】解法一：sin220°+cos280°+sin220°cos80°

=〔1－cos40°〕+〔1+cos160°〕+sin20°cos80°

=1－cos40°+cos160°+sin20°cos〔60°+20°〕

=1－cos40°+〔cos120°cos40°－sin120°sin40°〕+sin20°〔cos60°cos

20°－sin60°sin20°〕

=1－cos40°－cos40°－sin40°+sin40°－sin220°

=1－cos40°－〔1－cos40°〕=

解法二：设x=sin220°+cos280°+sin20°cos80°

y=cos220°+sin280°－cos20°sin80°，那么

x+y=1+1－sin60°=，x－y=－cos40°+cos160°+sin100°

=－2sin100°sin60°+sin100°=0

∴x=y=，即x=sin220°+cos280°+sin20°cos80°=.

考点六：研究的性质

例6、求函数y＝2sin〔x－〕的周期、递增区间、对称轴方程和对称中心坐标

【解】周期：。

令x－即为其单调递增区间；

令x－=即为其对称轴方程；

令x－=，故得其对称中心为〔，0〕。

【说明】在研究的性质时，注意将其与函数进行比照研究。

考点七：求三角函数式的最值

例7、求y=的最大值和最小值。

【解】法一：y==1－.

当sinx=－1时，得ymin=－1，

当sinx=1时，得ymax=.

法二：原式sinx=〔∵y≠1〕

||≤1－1≤y≤.

∴ymax=，ymin=－1.

【说明】法一是将原三角函数式化为只含有一个角、一个三角函数的式子，然后通过三角函数的有界性进行求解；法二是直接利用三角函数的有界性进行求解；实际上，此题还可以利用数形结合的方法求解。

考点八：三角函数图像变换

例8、由函数的图像经怎样的变化可以得到函数的图像。

【解】，故原，因此可将的图像向右平移个单位，再保持横坐标不变，将每一点的纵坐标变为原来的倍即可。

考点九：用向量法证明线段平行与垂直

例9、证明：?梯形的中位线平行于底且等于上下底之和的一半；?等腰三角形底边上的中线和高线重合。

【证明】①

由向量相