正态分布与标准正态分布高二上学期数学人教B版（2019）选择性必修第二册.pptxVIP

4.2.5课时2

正态分布与标准正态分布

第四章概率与统计

自动流水线包装的食盐，每袋标准质量为500g.由于各种不可控的因素，任意抽取一袋食盐，它的质量与标准质量之间会存在一定的误差(实际质量减去标准质量).如果用X表示这种误差，那么根据上节课所学，a≤X≤b的概率等于什么？

P(a≤X≤b)等于φμ，σ(x)的图象与x轴在区间[a，b]内围成的面积.

如果随机变量X落在区间[a，b]内的概率，总等于对应的正态曲线φμ，σ(x)

与x轴在区间[a，b]内围成的面积，则称X服从参数为μ和σ的正态分布，记作

X~N(μ，σ2).

正态分布

正态分布的“3σ原则”：

在实际应用中，通常认为服从于正态分布X~N(μ，σ2)的随机变量X只取

[μ－3σ，μ＋3σ]中的值，这在统计学中称为3σ原则.

如果X~N(μ，σ2)，那么：

P(X≤μ)=P(X≥μ)=0.5，

P(|X–μ|≤σ)=P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈68.3％，

P(|X–μ|≤2σ)=P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈95.4％，

P(|X–μ|≤3σ)=P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈99.7％.

A

问题1：（1）若Y~N(μ，σ2)，则Y的概率密度函数是什么？若X~N(0，1)，则X的概率密度函数是什么？

（2）Y~N(μ，σ2)能否化为X~N(0，1)？如果能，该怎样变化？由此你能得出什么结论？

标准正态分布：μ=0，σ=1的正态分布，记作X~N(0，1).

结论：任意正态分布通过变换都可化为标准正态分布.

问题2：若X~N(0，1)，则P(X-1)与P(X1)的值相加等于多少？

P(X-a)与P(Xa)也满足这样的关系吗？为什么？

∵P(X-1)≈0.5-0.3413=0.1587，P(X1)≈0.5+0.3413=0.8413.

∴P(X-1)+P(X1)=1.

∵P(X-a)=P(Xa)=1-P(X≤a)=1-P(Xa),

∴P(X-a)+P(Xa)=1.

如果X~N(0，1)，那么对于任意a，对于任意，通常记

则Φ(a)表示N(0，1)对应的正态曲线与x轴在区间(-∞，a)内所围的面积，如图：

Φ(a)=P(Xa)

C

B

4.6%

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