冀教版八年级下册数学教案 4.第二十一章 一次函数 21.5 一次函数与二元一次方程的关系 第1课时 一次函数与二元一次方程.docVIP

第1课时一次函数与二元一次方程

课时目标

(一)教学知识点

1.体会一次函数与二元一次方程的关系.

2.学会利用函数图像解二元一次方程组.

(二)能力训练目标

1.尝试从不同角度看问题、分析问题、解决问题,进一步体会“数”与“形”结合的魅力.

2.体会解决问题方法的多样性,发展创新实践能力,培养学生的数学核心素养.

学习重点

用图像法解二元一次方程(组)的具体方法.

学习难点

从函数角度看问题,用函数解方程(组).

课时活动设计

情境导入

1.二元一次方程x+y=1中有无数组解.

(1)你能列举出几组?(提示:最好是整数解).

解:x=-2

(2)以这些解为点的坐标,在直角坐标系中描点.

解:如图所示.

(3)观察这些点在一条直线上吗?(在一条直线上.)

(4)如果在一条直线上,它们在哪条直线上?(y=-x+1)

2.如图,在直角坐标系中,设点A的坐标为(-1,2),点B的坐标为(3,-2),经过点A,B画直线.直线AB上的点C(x0,y0)中,

(1)x0,y0之间有怎样的数量关系?

(2)x=x0,y=y0是不是方程

一起讨论归纳总结:

一般地,如果以二元一次方程ax+by=c的解为坐标,在直角坐标系中画点,那么这些点在一条直线上.反过来,如果取定这个方程的两组解,那么过以这两组解为坐标的两点画出的直线,此直线上点的坐标组成的一组值是这个二元一次方程的一组解.

因此,以二元一次方程的解为坐标的点在一条直线上.

设计意图:目的是引导学生体会以二元一次方程的所有的解为坐标对应的点集,是坐标系里的一条直线,这条直线是一个一次函数的图像,从形的角度显示一次函数与二元一次方程的统一性.

一起探究

1.一次函数y=kx+b图像上的一个点的坐标是不是二元一次方程kx-y=-b的一组解?请说明理由.

2.以二元一次方程ax+by=c的解为坐标所构成的直线,是不是一次函数y=-abx+cb的图像?

3.你认为二元一次方程和一次函数有什么联系与区别?与同学交流你的看法.

事实上,我们把二元一次方程ax+by=c变形为y=-abx+cb后,原来的二元一次方程就化成了一次函数的形式.当x,y表示未知数时,ax+by=c就是二元一次方程;当x,y表示变量时,y=-abx+cb就是一次函数.

以二元一次方程的解为坐标的点都在与它对应的一次函数的图像上;反过来,一次函数图像上的点的坐标都是与它对应的二元一次方程的解.

设计意图:目的是使学生搞清楚——第一,从式的变形角度认识一次函数与二元一次方程的一致性;第二,从图像和解集对应的点集的重合,认识一次函数与二元一次方程的一致性.

做一做

1.方程2x+3y=5有多少组解?请填写下表,并把每一组对应值作为点的坐标,在如图所示的直角坐标系中描出各点.

x

…

-2

-1

0

1

2

2.5

…

…

3?

?73

?53

1?

?13

0?

…

2.在上题直角坐标系中画出函数y=-23x+53

3.以方程2x+3y=5的解为坐标的点是否都在函数y=-23x+53的图像上?

是

设计意图:从不同角度看问题,体会数与形的完美结合.让学生通过活动体会——二元一次方程与对应的一次函数,从坐标系里的图形角度看,是完全一致的.

练习

1.把二元一次方程2x-3y=4改写成一次函数y=kx+b的形式,并画出这个一次函数的图像.

解:方程2x-3y=4的一次函数形式为y=23x-4

x

0

2

y

-4

0

画图像如图.

2.写出二元一次方程2x-y=1的三个解,以方程的解为坐标在直角坐标系中画点,这些点是否都在一次函数y=2x-1的图像上?

解:x=0,y

画图像如图.

这些点都在一次函数y=2x-1的图像上.

设计意图:经历了活动与练习后让我们更熟练地掌握了这种方法.虽然用函数解决方程问题未必简单,但这种数形结合思想在以后学习中有很重要的作用.

思考

已知一次函数y=ax+5和y=-x+b的图像交于点P(1,2).

(1)直接写出方程组ax-y=

(2)求a,b的值.(a=-3,b=3)

设计意图:通过这个活动,熟悉巩固用一次函数知识求二元一次方程组问题的方法,进一步提高学生多种角度解决数学问题的能力.

学以致用

直线y=-x+3与y=mx+n的图像的交点的横坐标为1,则关于x,y的二元一次方程组x+y=3,-

设计意图:让学生能快速识图,体会图像法解方程组的便捷性和优越性.

课堂小结

本节课从一元一次方程、二元一次方程与一次函数关联谈起,得出利用函数图像解决二元一次方程、二元一次方程(组)的具体方法及步骤,并通过两个实例让我们看到了不同数学模型间的联系,且通过函数观点把它们统一起来,根据具体情况灵活、有机地把这些数学模型结合起来使用,为我们解决有关实际问题提供了更大的便利.

设计意图:在此过程中也培