2024届福建省师范大学附属中学高三下学期联合考试数学试题含解析.docVIP

2024届福建省师范大学附属中学高三下学期联合考试数学试题

注意事项:

1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。

2．答题时请按要求用笔。

3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。

4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知抛物线C：，过焦点F的直线l与抛物线C交于A，B两点（A在x轴上方），且满足，则直线l的斜率为（）

A．1 B．

C．2 D．3

2．集合的真子集的个数为()

A．7 B．8 C．31 D．32

3．已知函数，则（）

A．函数在上单调递增 B．函数在上单调递减

C．函数图像关于对称 D．函数图像关于对称

4．在中，点D是线段BC上任意一点，，，则（）

A． B．-2 C． D．2

5．已知正四面体的棱长为，是该正四面体外接球球心，且，，则（）

A． B．

C． D．

6．若双曲线的一条渐近线与直线垂直，则该双曲线的离心率为（）

A．2 B． C． D．

7．已知复数（为虚数单位），则下列说法正确的是（）

A．的虚部为 B．复数在复平面内对应的点位于第三象限

C．的共轭复数 D．

8．已知抛物线的焦点为，准线与轴的交点为，点为抛物线上任意一点的平分线与轴交于，则的最大值为

A． B． C． D．

9．空间点到平面的距离定义如下：过空间一点作平面的垂线，这个点和垂足之间的距离叫做这个点到这个平面的距离．已知平面，，两两互相垂直，点，点到，的距离都是3，点是上的动点，满足到的距离与到点的距离相等，则点的轨迹上的点到的距离的最小值是（）

A． B．3 C． D．

10．等差数列中，已知，且，则数列的前项和中最小的是（）

A．或 B． C． D．

11．等比数列的前项和为，若，，，，则（）

A． B． C． D．

12．设是虚数单位，复数（）

A． B． C． D．

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．若函数为奇函数，则_______.

14．已知，那么______.

15．已知函数为奇函数，则______.

16．三棱柱中，，侧棱底面，且三棱柱的侧面积为.若该三棱柱的顶点都在同一个球的表面上，则球的表面积的最小值为_____．

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（12分）在四棱锥中，底面是平行四边形，为其中心，为锐角三角形，且平面底面，为的中点，.

（1）求证:平面；

（2）求证:.

18．（12分）如图，正方形所在平面外一点满足，其中分别是与的中点.

（1）求证：；

（2）若，且二面角的平面角的余弦值为，求与平面所成角的正弦值.

19．（12分）已知函数

（I）若讨论的单调性；

（Ⅱ）若，且对于函数的图象上两点，存在，使得函数的图象在处的切线.求证：.

20．（12分）在中，设、、分别为角、、的对边，记的面积为，且．

（1）求角的大小；

（2）若，，求的值．

21．（12分）古人云：“腹有诗书气自华.”为响应全民阅读，建设书香中国，校园读书活动的热潮正在兴起.某校为统计学生一周课外读书的时间，从全校学生中随机抽取名学生进行问卷调査，统计了他们一周课外读书时间（单位：）的数据如下：

一周课外读书时间/

合计

频数

4

6

10

12

14

24

46

34

频率

0.02

0.03

0.05

0.06

0.07

0.12

0.25

0.17

1

（1）根据表格中提供的数据，求，，的值并估算一周课外读书时间的中位数.

（2）如果读书时间按，，分组，用分层抽样的方法从名学生中抽取20人.

①求每层应抽取的人数；

②若从，中抽出的学生中再随机选取2人，求这2人不在同一层的概率.

22．（10分）已知的面积为，且.

（1）求角的大小及长的最小值；

（2）设为的中点，且，的平分线交于点，求线段的长.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、B

【解析】

设直线的方程为代入抛物线方程，利用韦达定理可得,,由可知所以可得代入化简求得参数,即可求得结果.

【详解】

设，（，）.易知直线l的斜率存在且不为0，设为，则直线l的方程为.与抛物线方程联立得，所以，.因为，所以，得，所以，即，，所以.

故选:B.

【点睛】

本题考查直线与抛物线的位置关系,考查韦达定理及向量的坐标之间的关系,考查计算能力，属