专题31 复数-2025年高考数学一轮复习讲义（知识梳理+真题自测+考点突破+分层检测）（新高考专用）解析版.docx

专题31复数（新高考专用）

目录

目录

【知识梳理】 2

【真题自测】 3

【考点突破】 7

【考点1】复数的概念 7

【考点2】复数的四则运算 10

【考点3】复数的几何意义 13

【考点4】复数与方程 16

【分层检测】 19

【基础篇】 19

【能力篇】 25

【培优篇】 27

考试要求：

1.理解复数的基本概念.

2.理解复数相等的充要条件.

3.了解复数的代数表示法及其几何意义.

4.能进行复数代数形式的四则运算.

5.了解复数代数形式的加、减运算的几何意义.

知识梳理

知识梳理

1.复数的有关概念

(1)定义：我们把集合C＝{a＋bi|a，b∈R}中的数，即形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中a叫做复数z的实部，b叫做复数z的虚部(i为虚数单位).

(2)分类：

满足条件(a，b为实数)

复数的

分类

a＋bi为实数?b＝0

a＋bi为虚数?b≠0

a＋bi为纯虚数?a＝0且b≠0

(3)复数相等：a＋bi＝c＋di?a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R).

(4)共轭复数：a＋bi与c＋di共轭?a＝c，b＝－d(a，b，c，d∈R).

(5)模：向量eq\o(OZ,\s\up6(→))的模叫做复数z＝a＋bi的模，记作|a＋bi|或|z|，即|z|＝|a＋bi|＝eq\r(a2＋b2)(a，b∈R).

2.复数的几何意义

复数z＝a＋bi与复平面内的点Z(a，b)及平面向量eq\o(OZ,\s\up6(→))＝(a，b)(a，b∈R)是一一对应关系.

3.复数的运算

(1)运算法则：设z1＝a＋bi，z2＝c＋di，a，b，c，d∈R.

(2)几何意义：

复数加、减法可按向量的平行四边形或三角形法则进行.

如图给出的平行四边形OZ1ZZ2可以直观地反映出复数加、减法的几何意义，即eq\o(OZ,\s\up6(→))＝eq\o(OZ1,\s\up6(→))＋eq\o(OZ2,\s\up6(→))，eq\o(Z1Z2,\s\up6(→))＝eq\o(OZ2,\s\up6(→))－eq\o(OZ1,\s\up6(→)).

1.i的乘方具有周期性

i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝0，n∈N*.

2.(1±i)2＝±2i，eq\f(1＋i,1－i)＝i；eq\f(1－i,1＋i)＝－i.

3.复数的模与共轭复数的关系

z·eq\o(z,\s\up6(－))＝|z|2＝|eq\o(z,\s\up6(－))|2.

真题自测

真题自测

一、单选题

1．（2023·全国·高考真题）设，则（????）

A．-1 B．0??????????· C．1 D．2

2．（2023·全国·高考真题）设，则（????）

A． B． C． D．

3．（2023·全国·高考真题）已知，则（????）

A． B． C．0 D．1

4．（2023·全国·高考真题）在复平面内，对应的点位于（????）．

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

5．（2022·全国·高考真题）（????）

A． B． C． D．

6．（2022·全国·高考真题）若，则（????）

A． B． C． D．

7．（2022·全国·高考真题）已知，且，其中a，b为实数，则（????）

A． B． C． D．

8．（2022·全国·高考真题）若，则（????）

A． B． C．1 D．2

9．（2021·全国·高考真题）复数在复平面内对应的点所在的象限为（????）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

10．（2021·全国·高考真题）设，则（????）

A． B． C． D．

11．（2021·全国·高考真题）已知，则（????）

A． B． C． D．

12．（2021·全国·高考真题）已知，则（????）

A． B． C． D．

参考答案：

1．C

【分析】根据复数的代数运算以及复数相等即可解出．

【详解】因为，

所以，解得：．

故选：C.

2．B

【分析】由题意首先计算复数的值，然后利用共轭复数的定义确定其共轭复数即可.

【详解】由题意可得，

则.

故选：B.

3．A

【分析】根据复数的除法运算求出，再由共轭复数的概念得到，从而解出．

【详解】因为，所以，即．

故选：A．

4．A

【分析】根据复数的乘法结合复数的几何意义分析判断.

【详解】因为，

则所求复数对应的点为，位于第一象限.

故选：A.

5．D

【分析】利用复数的乘法可求.

【详解】，

故选：D.

6．C

【分析】由共轭复数的概念及复数的运算即可得解.

【详解】

故选：C

7．A

【分析】先算出,再代入计算,实部与虚部都为零解方程组即可

【详解】

由,结合复数相等的