北师大版九年级上册数学教案 4. 第四章 图形的相似 4.5 相似三角形判定定理的证明.docVIP

课时目标

了解相似三角形三个判定定理的证明过程,发展推理能力.

学习重点

了解相似三角形三个判定定理的证明过程.

学习难点

了解相似三角形三个判定定理的证明过程.

课时活动设计

复习回顾

1.判定两个三角形全等的方法有哪些?

解:ASA,AAS,SSS,SAS.

2.判定两个三角形相似的方法有哪些?

解:(1)两边成比例且夹角相等的两个三角形相似.

(2)两角分别相等的两个三角形相似.

(3)三边成比例的两个三角形相似.

设计意图:通过回顾复习已得结论入手,激发学生的学习兴趣.

探究新知

提问:那么我们怎么证明相似三角形的判定是真命题呢?

定理1:两角分别相等的两个三角形相似.

如何对文字命题进行证明?与同伴进行交流.

学生组内合作,互相交流讨论.教师参与讨论并给予指导,通过多媒体展示证明过程.

已知:如图1,在△ABC和△ABC中,∠A=∠A,∠B=∠B.

求证:△ABC∽△ABC.

图1

证明:在△ABC的边AB(或它的延长线)上截取AD=AB,过点D作BC的平行线,交AC于点E(如图2),则∠ADE=∠B,∠AED=∠C,?ADAB=AEAC

过点D作AC的平行线,交BC于点F,则?ADAB=CFCB

图2

∴?AEAC=CF

∵DE∥BC,DF∥AC,

∴四边形DFCE是平行四边形.

∴DE=CF.∴?AEAC=DECB.∴?ADAB=AEAC

而∠ADE=∠B,∠DAE=∠BAC,∠AED=∠C,∴△ADE∽△ABC.?

∵∠A=∠A,∠ADE=∠B=∠B,AD=AB,∴△ADE≌△ABC.∴△ABC∽△ABC.?

设计意图:通过证明,我们可以得到命题1是一个真命题,从而得出相似三角形判定定理1:两角分别相等的两个三角形相似.

推理证明

1.可以类比前面的证明方法,来继续证明定理2:两边成比例且夹角相等的两个三角形相似.

教师引导学生自主探索证明思路和证明方法.

已知:如图,在△ABC和△ABC中,∠A=∠A,ABAB

求证:△ABC∽△ABC.

证明:在△ABC的边AB(或它的延长线)上截取AD=AB,过点D作BC的平行线,交AC于点E,则∠B=∠ADE,∠C=∠AED,

∴△ABC∽△ADE(两角分别相等的两个三角形相似).

∴ABAD=AC

∵ABAB=ACA

∴ABAD=AC

∴ACAE=AC

∴AE=AC.

而∠A=∠A,

∴△ADE≌△ABC.

∴△ABC∽△ABC.

2.让学生独立完成三边成比例的两个三角形相似的证明.从而得到相似三角形判定定理3:三边成比例的两个三角形相似.

已知:如图,在△ABC和△ABC中,ABAB=

求证:△ABC∽△ABC.

证明:在△ABC的边AB,AC(或它们的延长线)上分别截取AD=AB,AE=AC,连接DE.

∵ABAB=ACAC,

∴ABAD=AC

而∠BAC=∠DAE,

∴△ABC∽△ADE(两边成比例且夹角相等的两个三角形相似).

∴ABAD=BC

又ABAB=BC

∴ABAD=BC

∴BCDE=BC

∴DE=BC.

∴△ADE≌△ABC.

∴△ABC∽△ABC.

设计意图:鼓励学生积极思考,模仿前面的证明过程进行证明.可让学生板书过程,或老师在学生中寻找具有代表性资源,通过投影修正过程中存在的问题.

巩固训练

1.判断题:

(1)所有的等边三角形都相似.(??)

(2)所有的直角三角形都相似. (?)

(3)所有的等腰三角形都相似. (?)

(4)所有的等腰直角三角形都相似. (??)

2.如图,AD⊥BC于点D,CE⊥AB于点E,且交AD于点F,你能从中找出几对相似三角形?

解:6对.△AFE∽△CFD,△ABD∽△CBE,△DCF∽△DAB,△AEF∽△CEB,△AEF∽△ADB,△CDF∽△CFB.

3.如图,在正方形网格上△A1B1C1和△A2B2C2,它们相似吗?

解:相似.

由图可知,A1B1=22+22=22,B1C1=22+62=210,A1C1=4,A2B2=12+12=2,B2C

∴A1B1A2B

∴△A1B1C1∽△A2B2C2.

设计意图:通过上面的练习,灵活运用三种判定定理判断两个三角形是否相似,加深对相似三角形判定定理的理解,提高运用判定定理解决问题的能力.

课堂小结

通过本节课的学习,你学会了哪些知识和方法?

相似三角形的判定定理的选择:

1.已知有一角相等,可选判定定理1和2;

2.已