安徽省江南十校2024-2025学年高二上学期12月联考数学试卷2.docx

2024年“江南十校”高二年级12月份阶段联考

数学

注意事项：

1、答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.

2、回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号框涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号框.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.

3、考试结束后，将答题卡交回.

第I卷（选择题）

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.

1.已知集合，，则（）

A. B. C. D.

2.“且”是“方程表示椭圆”的（）

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分又不必要条件

3.若点是直线和公共点，则相异两点和所确定的直线方程是（）

A. B.

C. D.

4.六氟化硫，化学式为，常压下是一种无色、无臭、无毒、不燃的稳定气体，有良好的绝缘性，在电器工业方面具有广泛用途.六氟化硫分子结构为正八面体结构（正八面体每个面都是正三角形，可以看作是两个棱长均相等的正四棱锥将底面重合的几何体）.如图所示，在正八面体中，是的重心，记，，，则等于（）

A. B. C. D.

5.已知是直线的方向向量，直线经过点，则点到直线的距离为（）

A B. C. D.

6.已知圆的方程为，为圆上任意一点，则的取值范围为（）

A. B.

C. D.

7.焦点为的抛物线上有一点（不与原点重合），它在准线上的投影为，设直线与抛物线交于，两点，若，则的面积为（）

A. B. C. D.

8.若圆为双曲线的“伴随圆”，过的左焦点与右支上一点，作直线交“伴随圆”于，若，则的离心率为（）

A. B. C. D.

二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.给出下列命题，其中真命题为（）

A.过点与坐标轴围成三角形的面积为16的直线有且仅有3条

B.已知点，，则满足到点距离为2，到点距离为3的直线有且仅有3条

C.过点与抛物线仅有1个公共点的直线有3条

D.过双曲线的右焦点被截得线段长为5的直线有且仅有3条

10.已知正方体的棱长为2，动点满足，，下列说法正确的是（）

A.当，，时，的最小值为

B.当，，时，三棱锥的体积为3

C.当，，时，经过，，三点截正方体所得截面面积的取值范围是

D.当，且时，则的轨迹总长度为

11.过抛物线上一点作斜率分别为，的两条直线，与分别交于两点（异于点），则（）

A.过点与相切的直线方程为

B.若点，关于轴对称，则定值

C.若，则直线经过定点

D.分别以，，为切点作抛物线的三条切线，，，若，两点的横坐标相等，则

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.抛物线的焦点坐标是______.

13.蓄有水的圆柱体茶杯，适当倾斜能得到椭圆形水面，当椭圆形水面与圆柱底面所成的二面角为30°时，则水面椭圆的离心率为_____________.

14.如图，在正方体中，，分别为棱和上的点，则与所成角的余弦值范围为_____________.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.已知圆的圆心在直线上，且经过，两点.过定点的动直线与圆交于，两点，为坐标原点.

（1）求圆的标准方程；

（2）求的最大值.

16.已知双曲线的离心率，左、右焦点分别为，，为双曲线右支上一点，与轴交于点，且，.

（1）求双曲线方程；

（2）过右焦点且倾斜角为直线交双曲线于，两点，若的中点为，为坐标原点，直线交直线于点，求的最小值.

17.如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面底面，是边长为6的正三角形，，分别是线段和上的点，.

（1）试确定点的位置，使得平面，并证明；

（2）若直线与平面所成角的正切值为，求平面与平面夹角的余弦值.

18.如图，已知椭圆与椭圆有相同的离心率，在上，过点的两条不重合的直线，与椭圆相交于，两点，与椭圆相交于，和，四点.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）求证：；

（3）设直线，的倾斜角互补，求证：.

19.设和是空间中的两个不同点，则，，三点共线的充要条件是存在实数，使得，并且每个实数唯一对应直线上的点.仿照上面定义，设，，是共线的三个不同点，定义点关于，的分比为.

（1）设，为空间中任意取定的一点，求证：；

（2）若，，，是共线的四个不同点，满足，求的值；

（3）如图，设，和分别是的边，和上的点，若三条直线，和交于一点，求证：.