新高考数学二轮复习 专题03 空间几何 解答题 巩固练习一（教师版）.docxVIP

空间几何解答题巩固练习一

1．（2023·贵州·校联考模拟预测）如图，四棱锥中，，，，，与交于点，过点作平行于平面的平面.

??

(1)若平面分别交，于点，，求的周长；

(2)当时，求平面与平面夹角的正弦值.

【答案】(1)4；(2).

【解析】（1）由题意可知，四边形是直角梯形，

∴与相似，又，∴，，

因为过点作平行于平面的面分别交，于点，，

即平面平面，平面平面，平面平面，

平面平面，平面平面，

平面平面，平面平面，

由面面平行的性质定理得，，，

所以与相似，相似比为，即，

因为的周长为6，所以的周长为.

??

（2）∵平面平面，∴平面与平面的夹角与平面与平面的夹角相等，

∵，，，∴，

∴，又，，平面，∴平面，

平面，∴平面平面，

取的中点，因为为等边三角形，∴，平面平面，

平面，∴平面，以点为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，过点与平行的直线为轴，建立如图所示空间直角坐标系，

??

则，，，，，，，

设平面的法向量，则，即，取，则，

∵平面，∴是平面的一个法向量，

设平面与平面夹角为，则，所以，

所以平面与平面夹角的正弦值为.

2．（2023·江西九江·统考一模）如图，直角梯形中，，，，，将沿翻折至的位置，使得，为的中点．

??

(1)求证：平面平面；

(2)为线段上一点（端点除外），若二面角的余弦值为，求线段的长．

【答案】(1)证明见解析(2)

【解析】（1）易知，，，平面，

平面，又平面，所以

由直角梯形，，，，

可得，又，得；

又，平面，所以平面

又平面，可得平面平面

（2）取的中点，连接，，

??

，，

又平面平面，平面平面，平面，

为的中点，为的中点，可得，又，

故以所在的直线分别为轴，建立如图空间直角坐标

系，则，，，，，

设，则设平面的一个法向量为，

，，

所以，令，得，，即

平面的一个法向量为可得，解得或(舍)

即为的中点，易知，故线段的长为.

3．（2023·广西南宁·南宁二中校联考模拟预测）如图所示，在多面体中，底面为直角梯形，，，侧面为菱形，平面平面，M为棱的中点．

??

(1)若点N为的中点，求证：平面；

(2)若，，求平面与平面夹角的余弦值．

【答案】(1)证明见解析(2)．

【解析】（1）证明：连接，，

因为M，N分别为，的中点，所以为的中位线，所以，

又平面，平面，所以平面．

（2）解：取的中点O，连接，因为侧面为菱形，且，

所以在中，，解得，

所以，即，

又因为平面平面，平面平面，平面，所以平面，

过O作的垂线，交于H并延长，

分别以，，所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，

如图所示，设，则，故，，，，，

则，，，，，

设平面的法向量为，则，即，

取，可得，

设平面的法向量为，，即，

令，则，所以，

则，故平面与平面夹角的余弦值为．

??

4．（2023·新疆·统考三模）如图，在圆柱体中，，，劣弧的长为，AB为圆O的直径．

??

(1)在弧上是否存在点C（C，在平面同侧），使，若存在，确定其位置，若不存在，说明理由；

(2)求二面角的余弦值．

【答案】(1)存在，为圆柱的母线(2)

【解析】（1）存在，当为圆柱的母线时，．证明如下：

连接BC，AC，，因为为圆柱的母线，所以平面ABC，

又因为平面ABC，所以．因为AB为圆O的直径，所以．

又，平面，所以平面，

因为平面，所以．

（2）以为原点，OA，分别为y，z轴，垂直于y，z轴的直线为x轴建立空间直角坐标系，如图所示，

??

则，，，因为劣弧的长为，所以，，

则，．设平面的法向量，则，

令，解得，，所以．

因为x轴垂直平面，所以平面的一个法向量．

所以，又二面角的平面角为锐角，

故二面角的余弦值为．

5．（2023·四川成都·模拟预测）如图，四棱锥中，底面是矩形，，，侧面底面，侧面底面，点F是PB的中点，动点E在边BC上移动，且.

??

(1)证明：垂直于底面.

(2)当点E在BC边上移动，使二面角为时，求二面角的余弦值.

【答案】(1)证明见解析(2)

【解析】（1）因为侧面底面，侧面底面，

而底面是矩形，故,底面，

故平面，而平面，故;

同理侧面底面，侧面底面，

而底面是矩形，故,底面，

故平面，而平面，故，

又底面，故垂直于底面

（2）由（1）知底面，底面，

故，点F是PB的中点，且，故，；

又平面，,故平面，

平面，故，而平面，

故平面，故即为二面角的平面角，

即；而,

以A为坐标原点，以所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，

??

则，故，

设平面的法向量为，则，即，

令，则，即，设平面的法向量为，

则，即，令，则，即，

故，由原图可知二面角为锐角，

故二面角的余弦值为.