安庆师范大学《复变函数》2021-2022学年期末模拟试卷.docxVIP

安庆师范大学《复变函数》2021-2022学年期末模拟试卷

学校：__________姓名：__________班级：__________考号：__________

一、判断题

1．（）

2．z=0是函数的二级极点.()

3．设函数f(z)在点z0解析，且(z0)≠0，则f(z)在z0的一个邻域内单叶解析.()

4．若复级数绝对收敛，则任意排它各项的次序所得的级数也绝对收敛，但其和改变.()

5．函数sec能在z=1的去心邻域内展开成洛朗(Laurent)级数.()

6．()

7．设函数f(z)在领域K∶|z|R内解析，且在K内有f(z)的一列零点{zn}(zn≠0)收敛于0，则f(z)在K内必恒为0.（）

8．复三角函数是有界函数,复指数函数是周期函数.()

9．复变函数f(z)在点z可导等价于f(z)在点z可微.（）

10．若f(z)与都在区域D内解析，则f(z)在D内必为常数。()

二、填空题

11．函数w=ez将z平面上的带形区域0Imz变换为w平面上的区域________.

12．函数w=z2将z平面上的角形区域0argz变换为w平面上的区域______________.

13．=___________.

14．函数e2z在z=0处的泰勒展式为________.

15．设，则f(z)的定义域为______.

16．函数在z=1的留数为______.

17．若，绝对收敛，则________=（）·（）.

18．z=-2是函数f(z)=z3+4z2+4z的_____级零点.

19．设z=x+iy，则称ez=____________为指数函数.

20．函数ez+e-z在z=0的去心邻域0|z|∞内罗朗展示为________.

三、计算题

21．是否存在点z=0处的解析函数f(z)，在点zn=(n=1,2,…)处取下列的函数值：

，，，，，….并说明理由.

22．若函数f(z)在区域D内解析，在D内f′(z)=0，试证f(z)在D内必为常数．

23．讨论函数f(z)=2x3+3iy3在z平面上的可导性与解析性.

24．求出函数f(z)=的奇点，并确定其类别（对于极点，要指出它们的阶，不考虑无穷远点）.

25．讨论方程z5－2z+8=0在|z|2内根的个数.

26．求函数在0|z-1|+内的洛朗(Laurent)展式.

27．求将单位圆映射成单位圆的分式线性变换，且满足,.

28．求出函数的奇点，并确定其类别（对于极点，要指出它们的级），对于无穷远点也要加以讨论.

29．计算积分：I=,其中m为正整数.

30．证明函数f(z)=在区域D={z|Rez1}内解析.