专题03 新高考情景下的结构不良问题（四大题型）-2025年高考数学二轮热点题型归纳与变式演练（新高考通用）（解析版）.docx

专题03新高考情景下的结构不良问题

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TOC\o1-1\h\u题型01解三角形结构不良 1

题型02数列结构不良 8

题型03立体几何结构不良 17

题型04圆锥曲线结构不良 28

题型01解三角形结构不良

【解题规律·提分快招】

一、“结构不良问题”的解题策略

（1）题目所给的三个可选择的条件是平行的，无论选择哪个条件，都可解答题目；

（2）在选择的三个条件中，并没有哪个条件让解答过程比较繁杂，只要推理严谨、过程规范，都会得满分，但计算要细心、准确，避免出现低级错误导致失分．

二、“正弦定理”与“余弦定理”的选用策略

在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更合适，或是两个定理都要用，要抓住能够利用某个定理的信息．

（1）如果式子中含有角的余弦或边的二次式时，要考虑用余弦定理；

（2）如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；

（3）以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．

三、“边化角”或“角化边”的变换策略

（1）若式子中含有正弦的齐次式，优先考虑正弦定理“角化边”；

（2）若式子中含有、、的齐次式，优先考虑正弦定理“边化角”；

（3）若式子中含有余弦的齐次式，优先考虑余弦定理“角化边”；

（4）代数式变形或者三角恒等变换前置；

（5）含有面积公式的问题，要考虑结合余弦定理求解；

（6）同时出现两个自由角（或三个自由角）时，要用到三角形的内角和定理．

【典例训练】

一、解答题

1．（2024·北京·三模）在中，，．

(1)求证：为等腰三角形；

(2)再从条件①?条件②?条件③这三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一，求的值．

条件①：；条件②：的面积为；条件③：边上的高为3．

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）设，根据余弦定理及已知可得，所以，可得结果；

（2）若选择条件①，可得，可得，与已知矛盾；若选择条件②，根据平方关系及面积公式可得结果；若选择条件③，根据平方关系及正弦定理可得结果.

【详解】（1）在中，，，设，

根据余弦定理，得，

整理得，

因为，解得（负值已舍去），所以，

所以为等腰三角形.

（2）若选择条件①：若，由（1）可知，及，

所以，

所以不存在.

若选择条件②：在中,由,

由（1），

所以，

解得（负值已舍去），即.

若选择条件③：在中，由边上的高为3，得，

由，解得.

2．（2024·四川宜宾·二模）在中，角所对的边分别是，在下面三个条件中任选一个作为条件，解答下列问题，三个条件为：

①；②；③.

(1)求角A的大小；

(2)若，求的值.

【答案】(1)所选条件见解析，；

(2)3.

【分析】（1）若选①：利用正弦定理结合三角恒等变换分析求解；若选②：利用正弦定理边化角即可结果；若选③：利用三角恒等变换分析求解；

（2）利用余弦定理分析求解.

【详解】（1）若选①：因为，

由正弦定理可得，

且，则，可得，

且，所以；

若选②：因为，由正弦定理可得，

且，则，可得，

且，所以；

若选③：因为，

则，可得

且，则，可得，

且，所以.

（2）由（1）可知：，

由余弦定理可得：，

即，解得.

3．（2024·全国·模拟预测）在①；②两个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答该问题．在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且______．

(1)求角B的大小：

(2)若点D在的延长线上，且，，求面积的最大值．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）①由三角恒等变换可得；②由正弦定理和正弦展开式可得；

（2）由余弦定理和基本不等式求出，再求出面积最值即可.

【详解】（1）选①，因为，

所以，

即，

因为，

所以，

所以，

因为，所以，

所以，即，

所以.

选②，由及正弦定理得，

所以，

即，

因为，

所以，

因为，所以，

所以，所以.

（2）如图：

由题意，，

因为，

由余弦定理，，

所以，即，

因为，所以，即，

当且仅当，即，等号成立，

所以，

所以面积的最大值为.

4．（2024·四川南充·三模）已知函数．

(1)求函数的单调递增区间；

(2)在中，a，b，c分别是角A、B、C所对的边，记的面积为S，从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立．

①；②；③．

注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．

【答案】(1)

(2)证明见解析

【分析】（1）先将原函数化成一角一函数形式，然后由正弦函数性质，确定单调递增区间即可；

（2）若，先由确定的值，然后利用确定的值；进而得到的值，有余弦定理及勾股定理得出结论即可；若由，先求，再求，最后得出结论；若由，先求，进而求出，最后求出.

【详解】（1）由函数，

可得，

化简得：，

因为，

所以，

所以函数