山西省2024-2025学年高三上学期1月期末数学试题.docxVIP

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山西省2024-2025学年高三上学期1月期末数学试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．已知集合，，则（???）

A． B． C． D．

2．已知，，且，其中i是虚数单位，则（???）

A．10 B． C．2 D．

3．已知，，则（???）

A． B． C． D．

4．将单词“”的7个字母填入编号从1到12的一排方格中，每个方格至多填入1个字母，且6号方格填字母“”，则得到的结果从左至右仍为单词“”的填法有（???）

A．400种 B．350种 C．200种 D．150种

5．天文计算的需要，促进了三角学和几何学的发展.10世纪的科学家比鲁尼的著作《马苏德规律》一书中记录了在三角学方面的一些创造性的工作.比鲁尼给出了一种测量地球半径的方法：先用边长带有刻度的正方形测得一座山的高（如图1），再于山顶T处悬一个直径为且可以转动的圆环（如图2），从山顶T处观测地平线上的一点I，测得且，由此可以算得地球的半径（???）

A． B． C． D．

6．在任意四边形中，点，分别在线段，上，且，，，，，则与夹角的余弦值为（????）

A． B． C． D．

7．已知过点作曲线的切线有且仅有1条，则的值为（???）

A．或 B．或 C． D．

8．已知点在抛物线：（）上，是上不同的两点（异于点），若直线，被圆：截得的弦长都为，则直线的方程为（???）

A． B． C． D．

二、多选题

9．已知m，n是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列说法正确的是（???）

A．若，，则 B．若，，则

C．若，，则 D．若，，，则

10．已知函数（），对任意，恒有，且在上单调递增，则（???）

A．

B．的图象可由的图象向右平移个单位长度得到

C．为奇函数

D．在上的最大值为

11．已知定义域为的函数满足，且，，则（???）

A． B．为偶函数

C． D．

三、填空题

12．在正四棱台中，，，则正四棱台的体积为.

13．在平面直角坐标系中，已知点，在椭圆：上，且直线，的斜率之积为，则中点的轨迹方程为.

14．若，，则.

四、解答题

15．数列的前项和为，，当时，.

(1)求证：数列是等差数列，并求的表达式；

(2)设，求数列的最大项的值.

16．近些年天然气使用逐渐普及，为了百姓能够安全用气，国务院办公厅印发《城市燃气管道等老化更新改造实施方案（2022―2025年）》.某市在实施管道老化更新的过程中，从本市某社区1000个家庭中随机抽取了100个家庭燃气使用情况进行调查，统计了这100个家庭一个月的燃气使用量（单位：），得到如下频数分布表：

燃气使用量(单位：)

频数

6

14

18

30

16

12

4

(1)若采用分层抽样的方法从燃气使用量在和这两组的家庭中随机抽取8个家庭，市政府决定从这8个家庭中抽取4个跟踪调查其使用情况，记随机变量表示这4个家庭中燃气使用量在内的家庭个数，求的分布列和数学期望；

(2)将这一个月燃气使用量超过22的家庭定为“超标”家庭.若该社区这一个月燃气使用量服从正态分布，其中近似为100个样本家庭的平均值，估计该社区中“超标”家庭的户数.（结果四舍五入取整数）

附：若X服从正态分布，则，，.

17．如图，四边形为矩形，，，以为折痕将折起，使点到达点的位置.

(1)求三棱锥外接球的表面积；

(2)当平面平面时，证明：，并求二面角的余弦值.

18．如图，在平面直角坐标系中，双曲线E：（，）的两条渐近线的方程分别为，，直线l是E的切线，l分别交直线，于A，B两点（A，B分别在第一，四象限），且时，的面积为8.

(1)若E的离心率为，求E的方程；

(2)试探究：是否存在双曲线E，使的面积恒为8？若存在，求出双曲线E的方程；若不存在，请说明理由.

19．一般地，对于给定的两条直线：和：，把方程（（）为不全为0的实数）表示由和决定的直线系，当与相交时，是以与的交点为中心的中心直线系，当与平行时，该直线系称为平行直线系.在数学中把这种具有某种共同性质的直线的全体叫做直线系（或直线族）.记直线族（）为，直线族（）为.

(1)分别判断点，是否在直线族中的某条直线上，说明理由；

(2)若对于给定的实数（），点不在直线族中的任何一条直线上，求的取值范围；

(3)直线族的包络被定义为这样一条曲线：直线族中的每一条直线都是该曲线上某点处的切线，且该曲线上每一点处的切线都是该直线族中的某条直线，求的包络.

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