专题05 导数中的隐零点问题（3大题型）-2025年高考数学二轮热点题型归纳与变式演练（新高考通用）（解析版）.docx

专题05导数中的隐零点问题

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TOC\o1-1\h\u题型01利用隐零点解决最值、极值 1

题型02 利用隐零点判断零点个数 6

题型03利用隐零点证明不等式 14

题型01利用隐零点解决最值、极值

【解题规律·提分快招】

一、隐零点问题

隐零点问题是函数零点中常见的问题之一，其源于含指对函数的方程无精确解，这样我们只能得到存在性之后去估计大致的范围（数值计算不再考察之列）.

基本步骤：

第1步:用零点存在性定理判定导函数零点的存在性,列出零点方程,并结合的单调性得到零点的范围;

第2步:以零点为分界点,说明导函数的正负,进而得到的最值表达式;

第3步:将零点方程适当变形,整体代入最值式子进行化简:

（1）要么消除最值式中的指对项

（2）要么消除其中的参数项;

从而得到最值式的估计.

【典例训练】

一、单选题

1．（2024·浙江·三模）已知表示不超过的最大整数，若为函数的极值点，则（????）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】求导后，构造，分别求出，由零点存在定理得到零点范围，再结合题意求出结果即可.

【详解】由题意可得，

令，

则，，

所以存在，使得，即，

当时，，单调递减；当时，，单调递增，

所以为函数的极值点，

所以，

所以，

故选：B.

2．（2024·山东·模拟预测）已知函数，则使有零点的一个充分条件是（????）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】首先判断，此时可得的单调性，依题意可得，令，结合函数的单调性及零点存在性定理得到存在使得，从而得到有零点的充要条件为，即可判断.

【详解】因为，

当时，，所以，没有零点，故A错误；

当时与在上单调递增，所以在上单调递增，

，要使有零点，则需，

即，令，则在上单调递减，

且，，，

所以存在使得，

所以有零点的充要条件为，

所以使有零点的一个充分条件是.

故选：D

3．（2024·陕西铜川·模拟预测）已知函数恰有两个极值点，则a的取值范围是（????）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】对函数求导后，令，则只需要有两个不同的零点，利用导数求得在上单调递减，在上单调递增，则，得，再结合零点存在性定理可判断出在和上各有一个零点，从而可求得结果.

【详解】的定义域是，，令，

所以，令，解得；令，解得，

所以在上单调递减，在上单调递增．

要使恰有两个极值点，则，解得，

此时，

所以在上有唯一的零点，

令，所以，

所以在上单调递增，所以，

所以，

所以，

所以在上有唯一的零点，

综上，当时，在上有两个不同的零点，且零点两侧的函数异号，

所以a的取值范围是．

故选：D．

【点睛】关键点点睛：此题考查利用导数解决函数极值点问题，解题的关键是将问题转化为有两个不同的零点，结合零点存在性定理分析，考查数学转化思想和计算能力，属于较难题.

4．（2024·江苏连云港·模拟预测）已知对任意恒成立，则实数的最大值为（???）

A． B． C． D．1

【答案】A

【分析】构造，，其中，二次求导，并得到，分和两种情况，结合函数单调性和最值情况，得到答案.

【详解】，，显然，

，注意到，

令gx=f

其中，

当，即时，

gx=f′x

故在上单调递增，故恒成立，满足要求，

当时，，又趋向于时，趋向于，

由零点存在性定理得使得，

当时，，即gx=f

又，故时，，

故在上单调递减，又，在上，，

不合要求，舍去，

故的最大值为

故选：A

【点睛】方法点睛：于求不等式成立时的参数范围问题，一般有三个方法，一是分离参数法,使不等式一端是含有参数的式子，另一端是一个区间上具体的函数，通过对具体函数的研究确定含参式子满足的条件.二是讨论分析法，根据参数取值情况分类讨论，三是数形结合法，将不等式转化为两个函数，通过两个函数图像确定条件.

二、填空题

5．（2024高三·全国·专题练习）已知函数，，且，函数的值域为.

【答案】

【分析】对求导，构造函数，利用导数判断的单调性，根据零点存在性定理得到的零点，从而确定的单调性，求解即可.

【详解】，由可知，

令，，则，

所以在内单调递增，

又，，

所以在内存在唯一零点，

且，又，所以，

当时，，即，则在区间上单调递增，

由，可得，，

所以函数的值域为.

故答案为：.

6．（2024·青海·模拟预测）已知函数的最小值为，则.

【答案】/0.25

【分析】利用求导研究函数单调性得出函数得最小值满足，根据题意推得，代入所求式整理计算即得.

【详解】由可得，，

令，则，所以即在上单调递增.

因为，，则存在，使得，即（*）.

当时，，当时，，即在上单调递减，在上单调递增，

故.又的最小值为