专题18 洛必达法则（2大题型）-2025年高考数学二轮热点题型归纳与变式演练（新高考通用）（原卷版）.docx

专题18洛必达法则

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题型02洛必达法则解决最值问题 3

题型01洛必达法则的直接计算

【解题规律·提分快招】

一、前言

在高中，涉及到求参数的取值范围时，参数分离后，有时会出现分子与分母之比为两个无穷小之比、两个无穷大之比或两个趋近于零的数之比。这个比值可能是定值也可能是不存在，这时如果我们要计算出他们的比值，就需要运用到洛必达法则。

二、洛必达法则定义

在一定条件下，通过分子分母分别求导，再求极限来确定未定式的值的方法，称为洛必达法则。

三、法则形式

1、法则1（型）：若函数和满足下列条件：

（1）设当时，及；

（2）在点处函数和的图像是连续的，即函数和在点处存在导数；

（3）；则：.

2、法则2（型）：若函数和满足下列条件：

(1)及；

(2)在点处函数和的图像是连续的，即函数和在点处存在导数；

(3)，则：.

3、法则3（型）：若函数和满足下列条件：

(1)及；

(2)在点处函数和的图像是连续的，即函数和在点处存在导数；且；

(3)，则：=.

【特别提醒】

（1）将上面公式中的换成洛必达法则也成立。

（2）洛必达法则可处理型。

（3）首先要检查是否满足型定式，否则用洛必达法会出错。当不满足三个前提条件时，就不能用洛必达法则

（4）若条件符合，洛必达法则可连续多次使用，直到求出极限为止。

（5）高中阶段，洛必达法则一般是用来确定最值，方便解题。

四、适用类型的转化

（1）型的转化：或；

（2）型的转化：

（3）、型的转化：幂指函数类

【典例训练】

一、单选题

1．（23-24高三下·吉林长春·期中）1696年，洛必达在他的著作《无限小分析》一书中创造了一种算法，用以寻找满足一定条件的两函数之商的极限，法则的大意为：在一定条件下通过对分子?分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法.如：，按此法则有（????）

A．2 B．1 C．0 D．-2

2．我们把分子、分母同时趋近于0的分式结构称为型，比如：当时，的极限即为型.两个无穷小之比的极限可能存在，也可能不存在，为此，洛必达在1696年提出洛必达法则：在一定条件下通过对分子、分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法.如：，则（）

A．0 B． C．1 D．2

二、填空题

3．年，洛必达在他的著作《无限小分析》一书中创造了一种算法，用以寻找满足一定条件的两函数之商的极限，法则的大意为：在一定条件下通过对分子、分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法．如：，按此方法则有．

题型02洛必达法则解决最值问题

【典例训练】

一、解答题

1．（2024高三·全国·专题练习）恒成立,求的取值范围

2．（2024高三·全国·专题练习）已知函数．当时，求的取值范围．

3．（2024高三·全国·专题练习）已知函数，如果当，且时，，求的取值范围．

4．（2024·浙江·二模）①在微积分中，求极限有一种重要的数学工具——洛必达法则，法则中有结论：若函数，的导函数分别为，，且，则

.

②设，k是大于1的正整数，若函数满足：对任意，均有成立，且，则称函数为区间上的k阶无穷递降函数.

结合以上两个信息，回答下列问题：

(1)试判断是否为区间上的2阶无穷递降函数；

(2)计算：；

(3)证明：，.

一、单选题

1．（23-24高三下·北京朝阳·期中）两个无穷小之比或两个无穷大之比的极限可能存在，也可能不存在，为此，洛必达在1696年提出洛必达法则，即在一定条件下通过对分子、分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法，如，则（????）

A． B． C．1 D．2

2．（23-24高三下·新疆伊犁·期中）我们把分子?分母同时趋近于0的分式结构称为型，比如：当时，的极限即为型.两个无穷小之比的极限可能存在，也可能不存在，为此，洛必达在1696年提出洛必达法则：在一定条件下通过对分子?分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法.如：，则（????）

A． B． C．1 D．2

二、解答题

3．（2024高三·全国·专题练习）已知函数，当时，，求实数a的取值范围.

4．（2024高三·全国·专题练习），恒成立，求的取值范围

5．（2024高三·全国·专题练习）已知函数，若当时，恒有成立，求实数的取值范围．

6．（2024高三·全国·专题练习）设函数，

(1)若，（为常数），求的解析式；

(2)在（1）条件下，若当时，，求的取值范围．

7．（23-24高三下·山东泰安·期中）①在高等数学中，关于极限的计算，常会用到：i)四则运算法则：如果，，则，，若B≠0，则；ii)洛必达法则：若函数，的导函数分别为f′x，，，，则；

②设，k是大于1的正整数，若函数满