高中数学复习32.三角函数与导数综合问题研究.docxVIP

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第三十二讲：三角函数与导数综合问题研究

一、以函数零点作为解题突破口

近几年的高考数学试题中频频出现导数与三角函数零点问题的内容，主要包括函数零点个数的确定，根据函数零点个数求参数范围，隐零点问题及零点存在性赋值理论，其形式逐渐多样化、综合化．我们知道，很多函数的解析式含有超越式，通过解方程的方式无法求解出其零点，但是通过观察可以发现其零点，此时往往可以把零点作为解决问题的突破口，使问题迎刃而解．

例1已知函数恒成立，求实数a的取值范围．

解：由题目已知条件结合特殊值赋值法，可令，则恒成立，设，则，所以函数在R上单调递增．又因为，所以．

反之若，则：

．

．

综上所述，．

名师点评：本题中发现函数的零，点为1是一个关键点，从而可得到不等式成立的一个必要条件为；当然，在证明过程中还用到了切线不等式：，合理利用这两个不等式进行放缩．

二、极值点第三充分条件

高中数学中，关于极值点的定义不是很清晰，这是因为严格的极值的定义需要用到高等数学领域中极限等概念·众所周知，可导函数导数值为零仅仅是极值点的一个必要而非充分条件．为了避开极限等概念，高中数学判定极值点往往是先判断出函数在整个区间的单调性，再来确定极值．而当函数比较复杂或者含有参数时，这种方法就很烦琐．下面给出高等数学中的极值点第三充分条件，由于其证明需要用到高等数学知识，因而一般学生不必掌握，但对于学有余力的学生，可以尝试理解并记住结论加以应用．

极值点第三充分条件：若函数在处有连续的n阶导数，且满足

，但，则有：

ⅰ）若n为奇数，不是函数的极值点；

ⅱ）若n为偶数，是函数的极值点．

例2已知函数，若存在，使得当时，有恒成立，求a的值．

解：已知条件有，，，

故有．

因为存在，使得当时，有恒成立，且，显然不是的极值点，由极值点第三充分条件，必有．

名师点评：这个定理给出了在前阶导数值均为0，第n阶导数不为0的情况下，判断极值点的方法．

三、由泰勒展开公式作分析

泰勒公式是高等数学中的一个非常重要的内容，它将一些复杂的函数逼近，近似地表示为简单的多项式函数，泰勒公式这种化繁为简的功能，使得它成为分析和研究许多数学问题的有力工具．泰勒公式集中体现了微积分“逼近法”的精髓，在近似计算上有独特的优势．利用泰勒公式可以将非线性问题化为线性问题，且具有很高的精确度，因此其在微积分的各个方面都有重要的应用．泰勒公式可以应用于求极限，判断函数极值，求高阶导数在某点的数值，判断广义积分收敛性，近似计算，不等式证明等方面．

泰勒公式：设在含有的区间内有直到阶的连续导数，则可以按的方幂展开为

此式称为按的幂展开的n阶泰勒公式．

常见函数的泰勒展开式

1．

2．

3．

4．

例3

1．已知函数，若对任意的恒成立，求实数m的取值范围．

名师点评：本例中函数是多项式函数，函数是三角函数，运用泰勒展开式公式，我们可以把函数转化为多项式函数，这样研究该函数更加方便，把自变量x定义在区间上，可以很容易得出函数在上恒成立的必要条件．事实上，本例中泰勒展开式为我们探寻参数m的分段点提供了重要参考．

随着高考命题的深入开展，导数压轴题并没有走入桎梏，反而涌现出越来越多的经典题型，这极大丰富了数学教学素材，对培养学生的综合能力起到不可估量的作用．近几年兴起的与三角函数交汇的导数压轴题可谓丰富多彩，常考常新，新高考改革政策的全面落实，目的就是为了培养个性化能力水平强的人才，这需要教师突破各种局限迎接各种挑战，突破传统的育人模式．改革将促进学生健康成长，让每个学生的学习欲望得到全面激发，有利于促进每一个学生终身发展，有利于更好地科学选拔各类人才，有利于更好地维护社会公平．

正所谓“会当凌绝顶，一览众山小”，如果我们站在高等数学知识的高度，就可以轻松地看透问题的本质，不会让学生认为高考压轴题有一种“难于天际”的感觉．当然，以上解法可能或多或少超越教学大纲，但毕竞方法通透简洁，还是有一定可取之处！

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参考答案：

1．．

【分析】先求导得，借助进行放缩得到，从而得到时符合题意；

时，取，说明不合题意；时，把导数构造成新的函数，先求得导数的单调性，

再说明在上单减，，不合题意，即可求解.

【详解】，令，，令，则，

所以在上单增，，所以在上单增，，即，

故，

当时，在上恒成立，所以在上单增，；

当时，存在，使得，不恒成立；

当时，令，则，令，

则，令，解得，易知存在，使得，

故当时，单减，当时，单增，又，

故时，单减，所以，即，所以在上单减，

，不恒成立；

综上：．

【点睛】本题关键点在于利用进行放