专题41向量法求空间角-2025年高考数学一轮复习讲义知识梳理真题自测考点突破分层检测新高考专用解析版.pdfVIP

专题41向量法求空间角（新高考专用）

目录

【知识梳理】2

【真题自测】3

【考点突破】11

【考点1】异面直线所成的角11

【考点2】直线与平面所成的角19

【考点3】平面与平面的夹角30

【分层检测】42

【基础篇】42

【能力篇】57

【培优篇】63

考试要求：

1.掌握空间向量的应用.

2.会用空间向量求空间角和距离.

知识梳理

1.两条异面直线所成的角

设异面直线l，l所成的角为θ，其方向向量分别为u，v，

12

u·v|u·v|

则cosθ＝|cos〈u，v〉|＝||u||v||＝|u||v|.

2.直线和平面所成的角

直线AB与平面α相交于B，设直线AB与平面α所成的角为θ，直线AB的方向向量为u，平

u·n|u·n|

面α的法向量为n，则sinθ＝|cos〈u，n〉|＝||u||n||＝|u||n|.

3.平面与平面的夹角

(1)两平面的夹角：平面α与平面β相交，形成四个二面角，我们把这四个二面角中不大于90°

的二面角称为平面α与平面β的夹角.

(2)两平面夹角的计算：设平面α，β的法向量分别是n，n，平面α与平面β的夹角为θ，则

12

n1·n2|n1·n2|

cosθ＝|cos〈n，n〉|＝＝.

12||n1||n2|||n1||n2|

4.点P到直线l的距离

→→→

设＝a，u是直线l的单位方向向量，则向量在直线l上的投影向量＝(a·u)u.在Rt△APQ

APAPAQ

→→

中，由勾股定理，得PQ＝22＝22.

－－（）

|AP||AQ|aa·u

5.点P到平面α的距离

→n

若平面α的法向量为n，平面α内一点为A，则平面α外一点P到平面α的距离d＝AP·＝

||n||

→

|AP·n|

，如图所示.

|n|

6.线面距离、面面距离都可以转化为点到平面的距离.

1.线面角θ的正弦值等于直线的方向向量a与平面的法向量n所成角的余弦值的绝对值，即sin

θ＝|cos〈a，n〉|，不要误记为cosθ＝|cos〈a，n〉|.

π

2.二面角的范围是[0，π]，两个平面夹角的范围是0，.