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第五讲原函数与不定积分

Cauchy积分公式

§3.4原函数与不定积分

m1.原函数与不定积分的概念m2.积分计算公式

1.原函数与不定积分的概念

由§2基本定理的推论知：设f(z)在单连通

区域B内解析，则对B中任意曲线C,积

与路径无关，只与起点和终点有关。

当起点固定在z,终点z在B内变动，

在B内就定义了一个变上限的单值函数，记作

(1)

定理设f(z)在单连通区域B内解析，则F(z)在B内解析，且F(z)=f(z)

定义1若函数φ(z)在区域B内的导数等于f(z),即φ(z)=f(z),称φ(z)为f(z)在B内的原函数.

上面定理表明是f(z)的一个

原函数。

设H(z)与G(z)是f(z)的任何两个原函数，

∵[G(z)-H(z)]=G(z)-H(z)=f(z)-f(z)=0∴G(z)-H(z)=c,(c为任意常数)

(见第二章§2例3)

这表明：f(z)的任何两个原函数相差一个常数。

定义2设F(z)是f(z)的一个原函数，称F(z)+c(c为任意常数)为f(z)的不定积分，记作

2.积分计算公式

定理设f(z)在单连通区域B内解析，F(z)是f(z)的一个原函数，则

(Vz?,石?∈B)

沈公式类似于微积分学中的牛顿一莱布尼兹公式.但要求函数是解析的，比以前的连续条件强

例1计算下列积分：

1)

其中C为半圆周：

=3,Rez≥0,(令z=3e)

起点为-3i,终点为3i;

解1:

解2)

故

2)

其中C为单连通区域D:-πargzπ内

起点为1,终点为z的任意曲线.

解∵在D内解析，又Inz是的一个原函数，故

例3计算下列积分：

=sini-icosi

小

小结求积分的方法

(1)(2)

(1)

(2)(3)

(4)

(复数一般形式)

(常见公式)

(5)若f(z)解析，B单连通，闭曲线CcB,则：(6)复合闭路定理、闭路变形原理(C-G定理)

(7)若f(z)在B内解析，B单连通，则(利用原函数)

,F(z)=f(z)

§3.5Cauchy积分公式

内容简介

利用Cauchy-Goursat基本定理在多连通域上的推广，即复合闭路定理，导出一个用边界值表示解

析函数内部值的积分公式，该公式不仅给出了解析

函数的一个积分表达式，从而成为研究解析函数的有力工具，而且提供了计算某些复变函数沿闭路积分的方法.

分析设D-单连通，f(z)在D内解析，

z?∈D,C是D内围绕z。的一条闭曲线，则

在z?不解析.∴

由复合闭路定理得，任意包含z在内部的曲线C?cC的内部

≠0

特别取C?={|z-Zo=8(80可充分小)}

∵f(z)的连续性，在C上的函数值f(z)

当δ→0时，f(z)→f(z?)

C

D∴猜想积分

D

OZo

C?

这个猜想是对的，这就是下面的定理.

定理(Cauchy积分公式)

1)设f(z)在D内处处解析，

φ特例

φ

2)C是D内任意一条正向简单闭曲线，它的内部完全含于D

3)z为C内任意一点→

证明设VK={z||z-z。|=R}cC的内部.

K的半径R无关，∴只须证明：

即要证：Ve0,380,s|z-z=Rδ

∵

Vε0,380sz-zo|=Rδ|f(z)-f(z?)

沈(1)若定理条件改为f(z)在C所围区域B

内解析，及在C+B=B上连续，Cauchy

积分公式仍成立.

(2)Cauchy积分公式表明函数在C内部任一点的值可以用它在边界的值来表示.即若f(z)在区域边界上的值一经确定，则它在区域

内部任一处的值也就确定了.

沈

(3)若C:z=zo+Re则

一个解析函数在圆心处的值等于它在圆周上的平均值.

例1求

解

2

f(=)=1及2

=2πi·1+2πi·2=6πi

例2求

C为包含|z|=1在内的任意简单正向曲线

解

由C积分公式

=4πi

例3

设表圆周x2+y2=3求f(1+i).

解∵3z2+7z+1在全平面上处处解析，

又

故f(1+i)=2πi[6(1+i)+7]=2π(13i-6)

§6解析函数的高阶导数

内容简介

本节研究解析函数的无穷次可导性，并导出高阶导数计算公式。研究表明：一个解析函数不仅有一阶导数，而