新高考数学二轮复习 专题06 导数 解答题 巩固练习三（教师版）.docxVIP

专题06导数解答题巩固练习三

1．（2023·四川成都·校联考模拟预测）已知函数，．

(1)若函数在处的切线的斜率为，求实数a的值（e是自然对数的底数）；

(2)若函数有且仅有两个零点，求实数a的取值范围．

【答案】(1)(2)．

【解析】（1）因为，定义域为，故，

则，即，即，

令，则，

又因为在上单调递增，且当时，，

所以，即，．

（2）因为函数有且仅有两个零点，所以有且仅有两个大于1的实数根，

又，则，即，

令，则，由，得，当时，，当时，，

??

所以在上单调递减且，在上单调递增且时，

又，，则，则，即得，

所以，即，令，则，

当时，，当时，，

所以函数在上单调递增，在上单调递减，，

??

当时，，且无限趋近于0，所以，故实数a的取值范围为．

2．（2023·云南·校联考模拟预测）已知.

(1)当时，求函数的单调区间；

(2)当时，证明：函数有且仅有一个零点.

【答案】(1)函数的单调递增区间为,，单调递减区间为,(2)证明见解析

【解析】（1）当时，，

，

由得或，解得或

由得或，解得或，

故函数的单调递增区间为,，单调递减区间为,.

（2）当时，，定义域为，

，

设，，所以在区间上是增函数，

，存在唯一，使，即，

当时，，即；当时，，即；

当时，，即，

在区间上是增函数，在区间上是减函数，在区间上是增函数，

当时，取极大值为，

设，，所以在区间上是减函数.

在内无零点，

，在内有且只有一个零点，

综上所述，有且只有一个零点.

3．（2023·北京·统考高考真题）设函数，曲线在点处的切线方程为．

(1)求的值；

(2)设函数，求的单调区间；

(3)求的极值点个数．

【答案】(1)(2)答案见解析(3)3个

【解析】（1）因为，所以，

因为在处的切线方程为，所以，，

则，解得，所以.

（2）由（1）得，则，

令，解得，不妨设，，则，易知恒成立，

所以令，解得或；令，解得或；

所以在，上单调递减，在，上单调递增，

即的单调递减区间为和，单调递增区间为和.

（3）由（1）得，，

由（2）知在，上单调递减，在，上单调递增，

当时，，，即

所以在上存在唯一零点，不妨设为，则，

此时，当时，，则单调递减；当时，，则单调递增；

所以在上有一个极小值点；当时，在上单调递减，

则，故，

所以在上存在唯一零点，不妨设为，则，

此时，当时，，则单调递增；当时，，则单调递减；

所以在上有一个极大值点；

当时，在上单调递增，则，故，

所以在上存在唯一零点，不妨设为，则，

此时，当时，，则单调递减；当时，，则单调递增；

所以在上有一个极小值点；

当时，，所以，则单调递增，

所以在上无极值点；

综上：在和上各有一个极小值点，在上有一个极大值点，共有个极值点.

4．（2023·辽宁抚顺·校考模拟预测）已知函数．

(1)当时，求函数在上的最大值．

(2)若函数在定义域内有两个不相等的零点，，证明：．

【答案】(1)(2)证明见解析

【解析】（1）∵当时，，∴．

当时；，函数在上单调递减；

当时，，函数在上单调递增．

∵，，∴，∴函数在上的最大值为．

（2）要证，只需证．

∵，，∴由①－②得，

整理得．只需证，

即证，即证．

不妨设，令，则只需证，即证．

设，则只需证当时，即可．

∵，令，则，

∴在上单调递减，当时，，

∴在上单调递增，当时，，∴原不等式得证．

5．（2023·河南信阳·信阳高中校考模拟预测）已知函数，.

(1)求实数的值；

(2)证明：时，.

【答案】(1)(2)证明见解析

【解析】（1）因为，则，则，

令，其中，则，

由可得，由可得，

所以，函数的单调减区间为，单调增区间为.故有最小值，故.

（2）由（1）可知，，

当时，要证，即证，即证，

令，则上式等价于，构造函数则

故当时，为增函数；当时，为减函数；

由得，故，故.

当时，，故

又是的增区间，而故故即，

当时，，即在上，为减函数，故

即，故原命题得证.