新高考数学二轮复习 专题06 导数 解答题 巩固练习一（教师版）.docxVIP

专题06导数解答题巩固练习一

1．（2023秋·河南信阳·高三校考阶段练习）已知函数.

(1)已知，求最小值；

(2)讨论函数单调性.

【答案】(1)0；(2)答案见解析

【解析】（1）当时，，所以.

时，，时，，时，，

在区间上单调递减，在区间上单调递增，故最小值为.

（2），

时，当时，，当时，，

在上单调递减，在上单调递增.

当时，当或时，在和上单调递增；

当时，在上为减函数.

当时，上，在上为增函数.

当时，当或时，在和为增函数；

当时，在上为减函数.

综上，时，在上单调递减，在上单调递增；

时，在和上单调递增，在上为减函数；

时，在上为增函数；

时，在和为增函数，在上为减函数.

2．（2023·陕西宝鸡·校考模拟预测）设函数

(1)若时函数有三个互不相同的零点，求m的范围；

(2)若函数在内没有极值点，求a的范围；

【答案】(1)；(2)

【解析】（1）当时，，

因为有三个互不相同的零点，所以，

即有三个互不相同的实数根．

令，则．

令，令，

所以在和均为减函数，在为增函数，

即的极小值为，极大值为，

??

故m的取值范围．

（2）由题意可知，在上没有变号零点，

又因为，所以，解之得．故a的范围为.

3．（2023·江西南昌·校考模拟预测）已知函数和有相同的最小值．

(1)求；

(2)是否存在直线，其与两条曲线和共有三个不同的交点且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列？说明理由．

【答案】(1)；(2)存在；理由见解析

【解析】（1）由题意可得，．

①若，在上恒成立，在上单调递增，即无最小值；

②若，当时，，单调递减，当时，，单调递增．

所以在处取得最小值，

当时，，单调递减，当时，，单调递增，

所以在处取得最小值，

又与有相同的最小值，所以，，

设，，则，

令，则，，

当时，，单调递减，当时，，单调递增．

所以在处取得最小值，则当时，恒成立，单调递增．

又，所以．

（2）由（1）得，，且在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，，所以和的图象在上有唯一交点，且交点的纵坐标大于1，

由函数的单调性及图象可得存在直线，其与两条曲线和共有三个不同的交点，

当直线与曲线和共有三个不同交点时，设三个交点的横坐标分别为，且，则，

因为，，所以，

由图象可知无解，所以，，所以，，

则，，

上述两式相减得，即从左到右的三个交点的横坐标成等差数列.

4．（2023·陕西商洛·陕西省丹凤中学校考模拟预测）已知函数，．

(1)讨论的单调性；

(2)当时，证明：函数有两个不同的零点．

【解析】（1）由，得．

当时，，函数单调递增．当时，，

所以当时，，函数单调递增；

当时，，函数单调递减．

综上，当时，函数在区间上单调递增；

当时，函数在区间上单调递增，在区间上单调递减．

（2）证明：由得，

所以，

因为，所以，所以当时，，单调递减；

当时，，单调递增，所以当时，，

因为，所以，下面证明在区间上与上分别存在一个零点，

因为，所以在区间上存在唯一零点，且．

因为，当时，，

所以，所以，

所以在区间上存在唯一零点，且，

所以当时，函数有两个不同的零点．

5．（2023·河南开封·统考模拟预测）已知函数．

(1)若函数的图象与直线相切，求实数的值；

(2)若函数有且只有一个零点，求实数的取值范围．

【答案】(1);(2).

【解析】（1）设直线与函数的图象相切于点，

因为,所以，由②③可得④，易知.

由①得，代入④可得，

即，即，解得.故.

（2）令，可得，由题意可得只有一个根.

易知不是方程的根，所以，所以由，可得.

设，则与的图象只有一个交点.

，

当时，，函数单调递增；

当时，，函数单调递减；

当时，，函数单调递增.

设，则，

当时，，函数单调递减；

当时，，函数单调递增.

所以.所以.

又，时，，时，，

画出函数的图象如图所示：

??

由图可知，若与的图象只有一个交点，则.

所以实数的取值范围是.