新高考数学二轮复习 专题05 解析几何 解答题 巩固练习二（教师版）.docxVIP

专题05解析几何解答题巩固练习二

1．（2023·全国·河南省实验中学校考模拟预测）已知椭圆的左右焦点分别为是椭圆的中心，点为其上的一点满足．

(1)求椭圆的方程；

(2)设定点，过点的直线交椭圆于两点，若在上存在一点，使得直线的斜率与直线的斜率之和为定值，求的范围．

【答案】(1)；(2)或

【解析】（1）设，在中，设，，

，

，

，

所以椭圆的方程为：

（2）设，直线的方程为，

，，

，设

，

若为常数，则，即，而此时，

又，即或，

综上所述，或，存在点，使得直线的斜率与直线的斜率之和为定值

2．（2023·山西大同·统考模拟预测）已知椭圆的离心率为，且直线是抛物线的一条切线．

(1)求椭圆的方程；

(2)过点的动直线交椭圆于两点，试问：在直角坐标平面上是否存在一个定点，使得以为直径的圆恒过定点？若存在，求出的坐标；若不存在，请说明理由．

【答案】(1)(2)存在；

【解析】（1）由得

直线是抛物线的一条切线．所以

，所以椭圆

（2）??

当直线与轴平行时，以为直径的圆方程为

当直线与轴重合时，以为直径的圆方程为

所以两圆的交点为点猜想：所求的点为点．

证明如下．当直线与轴垂直时，以为直径的圆过点

当直线与轴不垂直时，可设直线为：

由得，设，则

则

所以，即以为直径的圆过点

所以存在一个定点，使得以为直径的圆恒过定点．

3．（2023·河南洛阳·模拟预测）已知椭圆：的离心率为，右焦点为，，分别为椭圆的左、右顶点.

(1)求椭圆的方程；

(2)过点作斜率不为的直线，直线与椭圆交于，两点，记直线的斜率为，直线的斜率为，求证：为定值；

(3)在（2）的条件下，直线与直线交于点，求证：点在定直线上.

【答案】(1)；(2)证明见解析；(3)证明见解析

【解析】（1）依题可得，解得，所以，所以椭圆的方程为．

（2）设，，因为直线过点且斜率不为，

所以可设的方程为，代入椭圆方程得，

其判别式，所以，.

两式相除得，即．

因为分别为椭圆的左、右顶点，所以点的坐标为，点的坐标为，

所以，．从而．

（3）由（1）知，设，则，

所以直线的方程为，直线的方程为，

联立可得，所以直线与直线的交点的坐标为，

所以点在定直线上.

4．（2023·河南·襄城高中校联考三模）设双曲线的左、右焦点分别为，，且E的渐近线方程为．

(1)求E的方程；

(2)过作两条相互垂直的直线和，与E的右支分别交于A，C两点和B，D两点，求四边形ABCD面积的最小值．

【答案】(1)(2)

【解析】（1）由题意，得的渐近线方程为，

因为双曲线的渐近线方程为，所以，即，

又因为，所以，则，故的方程为．

（2）根据题意，直线，的斜率都存在且不为0，

设直线，，其中，

因为，均与的右支有两个交点，所以，，所以，

将的方程与联立，可得，

设，则，，

所以

，用替换，可得，

所以．

令，所以，

则，当，即时，等号成立，

故四边形面积的最小值为．

??

5．（2023·贵州·校联考模拟预测）已知双曲线的一条渐近线方程为，焦点到渐近线的距离为.

(1)求的方程；

(2)过双曲线的右焦点作互相垂直的两条弦（斜率均存在）、.两条弦的中点分别为、，那么直线是否过定点?若不过定点，请说明原因；若过定点，请求出定点坐标.

【答案】(1)(2)直线过定点

【解析】（1）设双曲线的焦点坐标为，依题意渐近线方程为，即，

有，解得，；

（2）由（1）可知右焦点，设直线：，，，

由联立直线与双曲线，化简得，，

故，，，

又，则，同理可得：

，，化简得，

故直线过定点.