高考数学创新版全国通用讲义第二章函数概念与基本初等函数I第8讲.doc

第8讲指数与指数函数

考试要求1.有理指数幂的含义及运算(B级要求)；2.实数指数幂的意义，指数函数模型的实际背景(A级要求)；3.指数函数的概念、图象与性质(B级要求).

诊断自测

1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)

(1)eq\r(4,（－4）4)＝－4.()

(2)(－1)eq\f(2,4)＝(－1)eq\f(1,2)＝eq\r(－1).()

(3)函数y＝2x－1是指数函数.()

(4)函数y＝ax2＋1(a1)的值域是(0，＋∞).()

解析(1)由于eq\r(4,（－4）4)＝eq\r(4,44)＝4，故(1)错.

(2)(－1)eq\s\up2(\f(2,4))＝eq\r(4,（－1）2)＝1，故(2)错.

(3)由于指数函数解析式为y＝ax(a＞0，且a≠1)，故y＝2x－1不是指数函数，故(3)错.

(4)由于x2＋1≥1，又a＞1，∴ax2＋1≥a.故y＝ax2＋1(a＞1)的值域是[a，＋∞)，故(4)错.

答案(1)×(2)×(3)×(4)×

2.(必修1P61例2改编)化简[(－2)6]eq\f(1,2)－(－1)0的结果为________.

解析原式＝(26)eq\f(1,2)－1＝8－1＝7.

答案7

3.(2017·盐城高三上学期期中)函数f(x)＝ax－1＋3(a0且a≠1)的图象经过定点________.

解析当x＝1时，f(x)＝4，所以f(x)＝ax－1＋3(a0且a≠1)的图象经过定点(1，4).

答案(1，4)

4.(2015·江苏卷)不等式2x2－x＜4的解集为________.

解析∵2x2－x＜4＝22，∴x2－x＜2，即x2－x－2＜0，解得－1x2.∴原不等式的解集为(－1，2).

答案(－1，2)

5.已知a＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)))eq\s\up12(－\f(1,3))，b＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)))eq\s\up12(－\f(1,4))，c＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))eq\s\up12(－\f(3,4))，则a，b，c的大小关系是________.

解析∵y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)))eq\s\up12(x)是减函数，

∴eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)))eq\s\up12(－\f(1,3))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)))eq\s\up12(－\f(1,4))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)))eq\s\up12(0)，

即ab1，

又c＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))eq\s\up12(－\f(3,4))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))eq\s\up12(0)＝1，

∴cba.

答案cba

知识梳理

1.根式

(1)概念：式子eq\r(n,a)叫做根式，其中n叫做根指数，a叫做被开方数.

(2)性质：(eq\r(n,a))n＝a(a使eq\r(n,a)有意义)；当n为奇数时，eq\r(n,an)＝a，当n为偶数时，eq\r(n,an)＝|a|＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a，a≥0，,－a，a0.))

2.分数指数幂

(1)规定：正数的正分数指数幂的意义是aeq\f(m,n)＝eq\r(n,am)(a0，m，n∈N*，且n1)；正数的负分数指数幂的意义是a－eq\f(m,n)＝eq\f(1,\r(n,am))(a0，m，n∈N*，且n1)；0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义.

(2)有理指数幂的运算性质：aras＝ar＋s；(ar)s＝ars；(ab)r＝arbr，其中a0，b0，r，s∈Q.

3.指数函数及其性质

(1)概念：函数y＝ax(a0且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是变量，函数的定义域是R，a是底数.

(2)指数函数的图象与性质

a1

0a1

图象

定义域

R

值域

(0，＋∞)

性质

过定点(0，1)，即x＝0时，y＝1

当x0时，y1；

当x0时，0y1

当x0时，y1；

当x0时，0y1

在(－∞，＋∞)上是增函数

在(－∞，＋∞)上是减函数

考点一指数幂的运算

【例1】化简：(1)eq\f(\r(a3b2\r(3,ab2)),（a\f(1,4)b\f(1