新高考数学二轮复习 专题03 空间几何 解答题题型分类提升讲与练（教师版）.docxVIP

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专题03空间几何解答题

考法一平行

【例1-1】（2023春·河北邯郸）如图，在三棱柱中，G，O，H，M分别为DE，DF，AC，BC的中点，N为GC的中点.

??

(1)证明：平面ABED.

(2)证明：平面平面BCFE.

【解析】（1）证明：如图，连接BG.∵M为BC的中点，N为GC的中点，∴.

∵平面ABED，平面ABED，∴平面ABED.

??

（2）∵G，O分别为DE，DF的中点，∴.

∵平面BCFE，平面BCFE，∴平面BCFE.

∵且，∴四边形OFCH是平行四边形，∴.

∵平面BCFE，平面BCFE，∴平面BCFE.

又，∴平面平面BCFE

【例1-2】（2023·青海）如图，在四棱锥A-BCDE中，底面BCDE为矩形，M为CD中点，连接BM，CE交于点F，G为△ABE的重心，证明：平面ABC.

【解析】延长EG交AB于N，连接NC,因为G为△ABE的重心，所以点N为AB的中点，且,

因为,故,所以,故，故,

而平面ABC，平面ABC,故平面ABC；

【变式】

1．（2023春·浙江金华）在正方体中，分别是和的中点，求证

??

(1)

(2)平面．

(3)平面平面．

【解析】（1）连接，因为底面是正方形，且点是中点，

所以，即点也是中点，

又因为点是中点，所以由三角形中位线定理可得；

（2）由（1），因为平面，平面，所以平面；

（3）连接，因为分别是和的中点，所以由正方体的性质可知：，

所以四边形是平行四边形，所以有，而，

所以，因为平面，平面，

所以平面，而平面，所以平面平面.

??

考法二垂直

【例2-1】（2023秋·海南海口）已知三棱锥中，底面，，分别为，的中点，于．

??

(1)求证：平面；

(2)求证：平面平面．

【解析】（1）∵底面，底面，∴；

又，为的中点，∴，

又∵平面，，∴平面，平面，

∴，又，平面，，∴平面；

（2）由平面知，；又分别为的中点，

∴是的中位线，∴，∴，即，

由平面可知，，，

为平面与平面的二面角，又，∴平面平面．

【例2-2】（2023·全国·高三专题练习）如图，三棱锥中，，均为等边三角形，，O为AB中点，点D在AC上，满足，且面面ABC．证明：面POD．

??

【答案】证明见解析

【解析】证明：由条件、为等边三角形，为的中点，

则，，，

由余弦定理得

从而在中，，得为直角三角形，且，

又面面，面面，且，面，

则由面面垂直的性质定理可得面，由面,所以

因此由，，，平面，所以平面，

即面POD.

【变式】

1．（2023秋·山东）如图所示，在正方体中，为棱的中点，N为棱上的点，且，求证：.

??

【解析】连接，设，则，，

，又，∴.

??

∴，又，

∴，即，

又平面，平面，所以，

平面，所以平面，

平面，∴.

考法三空间角之向量法

【例3-1】（2022·天津·统考高考真题）直三棱柱中，，D为的中点，E为的中点，F为的中点．

(1)求证：平面；

(2)求直线与平面所成角的正弦值；

(3)求平面与平面夹角的余弦值．

【答案】(1)证明见解析(2)(3)

【解析】（1）证明：在直三棱柱中，平面，且，则

以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，

则、、、、、、、、，则，易知平面的一个法向量为，则，故，

平面，故平面.

（2）解：，，，

设平面的法向量为，则，

取，可得，.

因此，直线与平面夹角的正弦值为.

（3）解：，，

设平面的法向量为，则，

取，可得，则，

因此，平面与平面夹角的余弦值为.

【变式】

1．（2023·云南·校联考模拟预测）如图，在四棱锥中，平面，，，，，，为的中点．

??

(1)证明：；

(2)求二面角的平面角的余弦值．

【答案】(1)证明见解析；(2).

【解析】（1）在四边形中，，取中点，连接，

由，得，则四边形是平行四边形，又，

因此是矩形，即有，有，，

从而，即，而平面，平面，则，

又平面，于是平面，而平面，

所以.

??

（2）由（1）知两两垂直，以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，依题意，，，

设平面的一个法向量，则，令，得，

设平面的一个法向量，则，令，得，

因此，显然二面角的平面角为钝角，

所以二面角的平面角的余弦值为.

考法四空间角之几何法

【例4】（2023秋·四川遂宁）如图，多面体中，四边形为平行四边形，，，四边形为梯形，，，，，平面

(1)求证：平面；

(2)求直线与平面所成角的正弦值.

【答案】(1)证明见解析；(2).

【解析】（1）由四边形是平行四边形，得，而平面，平面，则平面，由，平面，平面，得平面，

又，平面，因此平面平面，而