2025年中考数学几何模型归纳训练(全国通用)专题26相似模型之梅涅劳斯(定理)模型与塞瓦(定理)模型解读与提分精练（附解析）.docxVIP

专题26相似模型之梅涅劳斯（定理）模型与塞瓦（定理）模型

梅涅劳斯（Menelaus，公元98年左右），是希腊数学家兼天文学家，梅涅劳斯定理是平面几何中的一个重要定理。

塞瓦（G·Gevo1647-1734）是意大利数学家兼水利工程师．他在1678年发表了一个著名的定理，后世以他的名字来命名，叫做塞瓦定理。

使用梅涅劳斯和塞瓦定理可以进行直线形中线段长度比例的计算，其逆定理还可以用来进行三点共线、三线共点等问题的判定方法，是平面几何学以及射影几何学中的一项基本定理，具有重要的作用．

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模型1.梅涅劳斯（定理）模型及其逆定理 1

模型2.塞瓦（定理）模型 7

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模型1.梅涅劳斯（定理）模型及其逆定理

梅涅劳斯（定理）模型：如图1，如果一条直线与的三边AB、BC、CA或其延长线交于F、D、E点，那么。其中：这条直线叫的梅氏线，叫梅氏三角形。

注意：梅涅劳斯（定理）特征是三点共线；我们用梅涅劳斯（定理）解决的大部分问题，也可添加辅助线后用平行线分线段成比例和相似来解决。

1）梅涅劳斯（定理）模型：如图1，如果一条直线与的三边AB、BC、CA或其延长线交于F、D、E点，那么。其中：这条直线叫的梅氏线，叫梅氏三角形。

图1图2

证明：证明：如图2，过点A作，交的延长线于点，易证：，

∴，；．

2）梅涅劳斯定理的逆定理模型：如图1，若F、D、E分别是的三边AB、BC、CA或其延长线的三点，如果，则F、D、E三点共线．

证明：先假设F、D、E三点不共线，直线DF与AC交于P，由\t/item/%E6%A2%85%E6%B6%85%E5%8A%B3%E6%96%AF%E9%80%86%E5%AE%9A%E7%90%86/_blank梅涅劳斯定理的定理得。

∵，∴，∴?，∴。

∴CP=CE；即P与E重合，∴D、E、F三点共线。

例1．（23-24九年级上·福建泉州·阶段练习）如图，已知，是的中线，是的中点，则．

例2.（23-24八年级下·广东潮州·期中）中，D为中点，E为中点，直线交于F，求证：．

例3.如图，在中，D为BC的中点，．求．

例4.（24-25重庆九年级校考期中）如图，等边△ABC的边长为2，F为AB中点，延长BC至D，使CD＝BC，连接FD交AC于E，则四边形BCEF的面积为．

例5.如图，CD、BE、AF分别为（不是等边三角形）的三个外角平分线，分别交AB、AC、BC于D、E、F．证明：D、E、F三点共线．

例6．（24-25·广东·九年级校联考期中）梅涅劳斯（Menelaus）是古希腊数学家，他首先证明了梅涅劳斯定理，定理的内容是：如图1，如果一条直线与的三边或它们的延长线交于三点，那么一定有．下面是利用相似三角形的有关知识证明该定理的部分过程：

证明：如图2，过点作，交的延长线于点，则有，，

∴，．

请用上述定理的证明方法解决以下问题：

??

??

（1）如图3，三边的延长线分别交直线于三点，证明：．

请用上述定理的证明方法或结论解决以下问题：（2）如图4，等边的边长为3，点为的中点，点在上，且与交于点，试求的长．（3）如图5，的面积为4，F为中点，延长至，使，连接交于，求四边形的面积．

模型2.塞瓦（定理）模型

塞瓦（定理）模型：塞瓦定理是指在△ABC内任取一点O，延长AO、BO、CO分别交对边于D、E、F，

如图3，则。

注意：塞瓦（定理）的特征是三线共点，我们用塞瓦（定理）解决的大部分问题，也可添加辅助线后用平行线分线段成比例和相似来解决。

塞瓦（定理）模型：塞瓦定理是指在△ABC内任取一点O，延长AO、BO、CO分别交对边于D、E、F，

如图3，则。

塞瓦（定理）证明：法1：可利用梅涅劳斯定理证明：在△中，割线∴①

在△中，割线，∴②，由②÷①：即得：。

法2：∵；∴①；同理：②；③；

由①×②×③得：。

塞瓦定理的逆定理：如果有三点分别在△的三边上，且满足，那么三线交于一点。

塞瓦定理的逆定理证明：设、交于点，联结并延长交于；

根据塞瓦定理：。∴，∴，

∴，∴与重合，即证。

注意：利用塞瓦定理的逆定理可判定三线共点，如证明三角形三条中线交于一点；三角形三条角平分线必交于一点；三角形三条高线交于一点等。

例1.如图，设M为△ABC内的一点，BM与AC交于点E，CM与AB交于点F，若AM通过BC的中点，求证：EF//BC。

例2.如图，在锐角△ABC中，AD是BC边上的高线，H是线段AD内任一点，BH和CH的延长线分别交AC、AB于E、F，求证：∠EDH=∠FDH。

例3.如图，四边形AB