吉林省吉林地区普通中学2024-2025学年高三上学期第二次模试考试数学试题.docx

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吉林省吉林地区普通中学2024-2025学年高三上学期第二次模试考试数学试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．命题，则为（????）

A． B．

C． D．

2．设全集，则图中阴影部分表示的集合是（????）

A． B． C． D．

3．在中，点D为的中点，点O为的重心，则（????）

A． B． C． D．

4．已知随机事件A和B，下列表述中错误的是（????）

A．若，则 B．若，则

C．若互斥，则 D．若互斥，则

5．已知双曲线的右焦点为，点在双曲线上且满足轴，若，则双曲线的实轴长为（????）

A．1 B．2 C．4 D．8

6．定义：到定点的距离为定值的直线系方程为，此方程也是以为圆心，为半径的圆的切线方程.则当变动时，动直线围成的封闭图形的面积为（????）

A．1 B．2 C． D．

7．已知等差数列的首项为1，且成等比数列，则数列的前项和为（????）

A． B． C．505 D．1013

8．定义：为不超过x的最大整数，区间（或）的长度记为.若关于x的不等式的解集对应区间的长度为1，则实数k的取值范围是（????）

A． B．

C． D．

二、多选题

9．设复数，则（????）

A．在复平面内z对应的点位于第一象限

B．

C．

D．若z是关于x的方程的一个根，则

10．数学与音乐有紧密的关联，每个音都是由纯音合成的，纯音的数学模型是函数.像我们平时听到的音乐不只是一个音在响，而是许多个音的结合，称为复合音.复合音的产生是因为发声体在全段振动，产生频率为f的基音的同时，其各部分，如二分之一，三分之一，四分之一部分也在振动，产生的频率恰好是全段振动频率的倍数，如等，这些音叫谐音，因为振幅较小，我们一般不易单独听出来.所以我们听到的声音的函数是，记，则（????）

A．的最大值为 B．在上单调递增

C．的周期为 D．

11．已知是定义在上的函数，对于任意实数满足，当时，，则（????）

A． B．

C．有3个零点 D．若，则或

三、填空题

12．已知函数，则.

13．已知椭圆的上顶点为A，点均在C上，且关于x轴对称.若直线，的斜率之积为，则椭圆C的离心率为.

14．如图，在三棱锥中，平面平面，，点E在棱上，且，侧面内一动点P满足，则点P的轨迹长度为；直线与直线所成角的余弦值的取值范围为.

四、解答题

15．在中，角所对的边分别为.

(1)若，求的面积S；

(2)若角C的平分线与的交点为，求的最小值.

16．已知函数（为自然对数的底数）.

(1)求函数的单调递减区间；

(2)若不等式在上恒成立，求实数的取值范围.

17．如图，一个直三棱柱和一个正四棱锥组合而成的几何体中，.

(1)证明：平面平面；

(2)若平面与平面夹角的余弦值为，求正四棱锥的高.

18．国家设立国家自然科学基金，用于资助基础研究，支持人才培养和团队建设.现对近4年的国家自然科学基金项目支出（以下简称项目支出）概况进行统计，得到数据如下表：

年份

2020年

2021年

2022年

2023年

年份序号

1

2

3

4

项目支出/百亿元

90

96

100

108

(1)经过数据分析，发现年份序号与项目支出具有线性相关关系.请求出项目支出y关于年份序号x的经验回归方程，并预测2025年的项目支出；

(2)天元基金是国家自然科学基金中的数学专项基金之一，为促进甲、乙两个地区天元基金申报者的交流，天元基金委员会举办了论坛活动.经调查统计，甲、乙两个地区共有200人参加此次论坛活动，具体数据如下表：???????????????????

男生

女生

合计/人

甲

65

35

100

乙

45

55

100

合计/人

110

90

200

（i）根据小概率值的独立性检验，能否认为申报者所在地区与性别有关联？

（ii）为了解此次论坛活动的满意度（满意度评分满分为10分），现采用按男、女样本量比例分配的分层随机抽样，从上述200人中抽取40人进行访谈，其中男生样本的满意度平均数为9分，方差为7.19，女生样本的满意度平均数为7分，方差为6.79，由这些数据，请求出总样本的满意度的平均数和方差，并对全体参加此次论坛活动的天元基金申报者的满意度的平均数和方差作出估计.

附：，，，其中.

0.1

0.05

0.025

0.01

0.005

0.001

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828

1