高三理科数学二轮复习讲义模块二专题二高考解答题专讲（二）三角函数与解三角形.doc

专题二三角函数、平面向量

高考解答题专讲(二)三角函数与解三角形

一、三角变换与三角函数的性质

1．三角函数的恒等变形的通性通法是：从函数名、角、运算三方面进行差异分析，常用的技巧有：切化弦、降幂、用三角公式转化出特殊角、异角化同角、异名化同名、高次化低次等．

2．研究三角函数的值域、最值、周期、单调性等性质，首先要将函数解析式化为标准形式，再结合图形求解．

【例1】(2017·黄冈中学模拟)已知函数f(x)＝2eq\r(3)sinωxcosωx＋2cos2ωx(ω0)，且f(x)的最小正周期为π.

(1)求ω的值及函数f(x)的单调递减区间；

(2)将函数f(x)的图象向右平移eq\f(π,6)个单位长度后得到函数g(x)的图象，求当x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))时，函数g(x)的最大值．

[解](1)由题意知f(x)＝eq\r(3)sin2ωx＋1＋cos2ωx

＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2ωx＋\f(π,6)))＋1，

∵T＝π，eq\f(2π,2ω)＝π，∴ω＝1，

∴f(x)＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6)))＋1，

令eq\f(π,2)＋2kπ≤2x＋eq\f(π,6)≤eq\f(3π,2)＋2kπ，k∈Z，得

eq\f(π,6)＋kπ≤x≤eq\f(2π,3)＋kπ，k∈Z.

∴函数f(x)的单调递减区间为eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,6)＋kπ，\f(2π,3)＋kπ))，k∈Z.

(2)∵g(x)＝2sineq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,6)))＋\f(π,6)))＋1

＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,6)))＋1，

当x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))时，－eq\f(π,6)≤2x－eq\f(π,6)≤eq\f(5π,6)，

∴当2x－eq\f(π,6)＝eq\f(π,2)，即x＝eq\f(π,3)时，g(x)max＝2×1＋1＝3.

解答此类题目思路是“一化二求”，即通过恒等变换(降幂、辅助角公式应用)将其解析式化为y＝Asin(ωx＋φ)，y＝Acos(ωx＋φ)(A，ω，φ是常数，且A0，ω≠0)的形式，再研究其各种性质或求值．

[对点训练]

1．(2017·潍坊一模)已知函数f(x)＝4sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ωx－\f(π,4)))·cosωx在x＝eq\f(π,4)处取得最值，其中ω∈(0,2)．

(1)求函数f(x)的最小正周期；

(2)将函数f(x)的图象向左平移eq\f(π,36)个单位，再将所得图象上各点的横坐标伸长为原来的3倍，纵坐标不变，得到函数y＝g(x)的图象，若α为锐角，g(α)＝eq\f(4,3)－eq\r(2)，求cosα.

[解](1)f(x)＝4sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ωx－\f(π,4)))·cosωx

＝2eq\r(2)sinωx·cosωx－2eq\r(2)cos2ωx

＝eq\r(2)(sin2ωx－cos2ωx)－eq\r(2)

＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2ωx－\f(π,4)))－eq\r(2)，

∵f(x)在x＝eq\f(π,4)处取得最值，∴2ω·eq\f(π,4)－eq\f(π,4)＝kπ＋eq\f(π,2)，k∈Z，∴ω＝2k＋eq\f(3,2)，k∈Z，∵ω∈(0,2)，

即02k＋eq\f(3,2)2，∴－eq\f(3,4)keq\f(1,4)，

又k∈Z，∴k＝0，则ω＝eq\f(3,2)，

∴f(x)＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3x－\f(π,4)))－eq\r(2)，∴T＝eq\f(2π,3).

(2)将函数f(x)的图象向左平移eq\f(π,36)个单位，

得到h(x)＝2sineq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(3\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,36)))－\f(π,4)))－eq\r(2)＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3x－\f(π,6)))－eq\r(2)，再将h(x)图象上各点的横坐