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广东省七校联合体2024年高三适应性调研考试数学试题

注意事项

1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．

2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．

3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．

4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．

5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合，集合，则（）.

A． B．

C． D．

2．已知复数，则的虚部是（）

A． B． C． D．1

3．已知函数（其中为自然对数的底数）有两个零点，则实数的取值范围是（）

A． B．

C． D．

4．正项等差数列的前和为，已知，则=（）

A．35 B．36 C．45 D．54

5．已知椭圆的短轴长为2，焦距为分别是椭圆的左、右焦点，若点为上的任意一点，则的取值范围为（）

A． B． C． D．

6．从某市的中学生中随机调查了部分男生，获得了他们的身高数据，整理得到如下频率分布直方图：

根据频率分布直方图，可知这部分男生的身高的中位数的估计值为

A． B．

C． D．

7．已知椭圆的右焦点为F，左顶点为A，点P椭圆上，且，若，则椭圆的离心率为（）

A． B． C． D．

8．一个四棱锥的三视图如图所示（其中主视图也叫正视图，左视图也叫侧视图），则这个四棱锥中最最长棱的长度是（）．

A． B． C． D．

9．已知集合，则为（）

A．[0，2) B．(2，3] C．[2，3] D．(0，2]

10．函数的部分图像大致为（）

A． B．

C． D．

11．四人并排坐在连号的四个座位上，其中与不相邻的所有不同的坐法种数是（）

A．12 B．16 C．20 D．8

12．等腰直角三角形BCD与等边三角形ABD中，，，现将沿BD折起，则当直线AD与平面BCD所成角为时，直线AC与平面ABD所成角的正弦值为（）

A． B． C． D．

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．已知实数x,y满足(2x-y)2+4y

14．设函数，，其中．若存在唯一的整数使得，则实数的取值范围是_____．

15．已知，则展开式的系数为__________．

16．设P为有公共焦点的椭圆与双曲线的一个交点，且，椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，若，则______________.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（12分）已知三棱锥中，为等腰直角三角形，，设点为中点，点为中点，点为上一点，且．

（1）证明：平面；

（2）若，求直线与平面所成角的正弦值．

18．（12分）已知函数.

（1）求证：当时，；

（2）若对任意存在和使成立，求实数的最小值.

19．（12分）如图，在直三棱柱中，，，D，E分别为AB，BC的中点.

（1）证明：平面平面；

（2）求点到平面的距离.

20．（12分）已知离心率为的椭圆经过点.

(1)求椭圆的方程；

(2)荐椭圆的右焦点为，过点的直线与椭圆分别交于，若直线、、的斜率成等差数列，请问的面积是否为定值？若是，求出此定值；若不是，请说明理由.

21．（12分）如图，在四棱锥中，底面是直角梯形且∥，侧面为等边三角形，且平面平面.

（1）求平面与平面所成的锐二面角的大小；

（2）若，且直线与平面所成角为，求的值.

22．（10分）已知三点在抛物线上.

（Ⅰ）当点的坐标为时，若直线过点，求此时直线与直线的斜率之积；

（Ⅱ）当，且时，求面积的最小值.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、A

【解析】

算出集合A、B及，再求补集即可.

【详解】

由，得，所以，又，

所以，故或.

故选：A.

【点睛】

本题考查集合的交集、补集运算，考查学生的基本运算能力，是一道基础题.

2、C

【解析】

化简复数，分子分母同时乘以，进而求得复数，再求出，由此得到虚部.

【详解】

，，所以的虚部为.

故选：C

【点睛】

本小题主要考查复数的乘法、除法运算，考查共轭复数的虚部，属于基础题.

3、B

【解析】

求出导函数，确定函数的单调性，确定函数的最值，根据零点存在定理可确定参数范围．

【详解】

，当时，，单调递增，当时，，单调递减，∴在上只有一个极大值也是最大值，显然时