概率论与数理统计(茆诗松)第二版课后第八章习题参考答案.docxVIP

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第八章方差分析与回归分析

本章前三节研究方差分析，讨论多个正态总体的比较，后两节研究回归分析.讨论两个变量之间的相关关系.

§8.1方差分析

8.1.1问题的提出

上一章讨论了单个或两个正态总体的假设检验，这里讨论多个正态总体的均值比较问题.

通常为了研究某一因素对某项指标的影响情况，将该因素在多种情形下进行抽样检验，作出比较.一般将该因素称为一个因子，所检验的每种情形称为水平.在每个水平下需要考察的指标都分别构成一个总体，比较它们的总体均值是否相等.对每一个总体都分别抽取一个样本，样本容量称为重复数.

如果只对一个因子中的多个水平进行比较，称为单因子方差分析，对多个因子的水平进行比较，称为多因子方差分析.本章只进行单因子方差分析.

例在饲料养鸡增肥的研究中，现有三种饲料配方：A?,A?,A?,为比较三种饲料的效果，特选24只相似的雏鸡随机均分为三组，每组各喂一种饲料，60天后观察它们的重量.实验结果如下表所示：

饲料

鸡重/g

A?

1073

1009

1060

1001

1002

1012

1009

1028

A?

1107

1092

990

1109

1090

1074

1122

1001

A?

1093

1029

1080

1021

1022

1032

1029

1048

在此例中，就是要考察饲料对鸡增重的影响，需要比较三种饲料对鸡增肥的作用是否相同.这里，饲

料就是一个因子，三种饲料配方就是该因子的三个水平，每种饲料喂养的雏鸡60天后的重量分别构成一个总体，这里共有3个总体，每一个总体抽取样本的重复数都是8,比较这3个总体的均值是否相等.

8.1.2单因子方差分析的统计模型

设因子A有r个水平A?,A?,…,A,,在每个水平下需要考察的指标都构成一个总体，即有r个总体，分别记为Y?,Y2,…,Y,,对每一个总体都分别抽取一个样本，首先考虑重复数相等的情形，设重复数都是

m,总体Y?的样本Ya,Y?,…,Yim,i=1,2,…,r.作出以下假定：

(1)每一个总体都服从正态分布，即Y,~N(u,o2),i=1,2,…,r;

(2)各个总体的方差都相等，即σ2=σ2=…=σ2,都记为o2;

(3)各个总体及抽取的样本相互独立，即Y;相互独立，i=1,2,…,r,j=1,2,…,m.需要比较它们的总体均值是否相等，即检验的原假设与备择假设为

H?:μ1=μ?=…=μrvsH?:H?,μ2,…,μ,不全相等，

如果H?成立，就可以认为这r个水平下的总体均值相同，称为因子A不显著;反之，如果H?不成立，就称为因子A显著.

在水平A;下的样品Y;与该水平下的总体均值μ之差8;=Y;-μ;为随机误差.由于Y;~N(μi,o2),因此随机误差ε;~N(0,o2).对所有r个水平下的总体均值求平均，即

称为总均值.每个水平A;下的总体均值μ;与总均值μ之差a;=μ;-μ称为该水平A;下主效应.显然所有

主效应a;之和等于0,即

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检验所有水平下的总体均值是否相等，也就是检验所有主效应a;是否全等于0.这样单因子方差分析在重复数相等的情形下，统计模型为

检验的原假设与备择假设为

H?:a?=a?=…=a,=0vsH?:a?,a?,…,a,不全等于0.

8.1.3平方和分解

一.试验数据

对于r个总体下的试验数据Y;,i=1,2,…,r,j=1,2,…,m,记T;表示第i个总体下试验数据总和，Y,表示第i个总体下样本均值，n=rm表示总的样本容量，T表示总的试验数据总和，Y表示总的样本均

值，即

用Y作为μ;的点估计，Y作为μ的点估计.又记可，表示第i个总体下随机误差平均值，E表示总的随机误

差平均值，即

显然有Y=从+画，Y=μ+E.

在单因子方差分析中通常将试验数据及基本计算结果写成表格形式

因子水平试验数据和

和的平方

平方和

A?

A?--

A,

Y?

Y21

Yr

Yi?

Y22

Yr?

…

…

--…

Ym

Y2m

Ymm

T?

T?--

T,

飞

飞-

T2

Z

T

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二.组内偏差与组间偏差

数据Y;与样本总均值Y之差Y,-Y称为样本总偏差，可以分成两部分之和：

Y,-Y=(Y,-Y)+(Y,-Y),

其中

Y,-Y