2023-2024学年福建省莆田一中高三一诊考试数学试卷含解析.docVIP

2023-2024学年福建省莆田一中高三一诊考试数学试卷

考生须知：

1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。

2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。

3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．在中，为上异于，的任一点，为的中点，若，则等于（）

A． B． C． D．

2．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体外接球的表面积为（）

A． B． C． D．

3．设为抛物线的焦点，，，为抛物线上三点，若，则（）.

A．9 B．6 C． D．

4．若不相等的非零实数，，成等差数列，且，，成等比数列，则（）

A． B． C．2 D．

5．某四棱锥的三视图如图所示，该几何体的体积是（）

A．8 B． C．4 D．

6．若复数z满足，则（）

A． B． C． D．

7．函数的图象在点处的切线为，则在轴上的截距为（）

A． B． C． D．

8．i是虚数单位，若，则乘积的值是()

A．－15 B．－3 C．3 D．15

9．如图所示，已知某几何体的三视图及其尺寸（单位：），则该几何体的表面积为()

A． B．

C． D．

10．已知函数（）的部分图象如图所示，且，则的最小值为（）

A． B．

C． D．

11．是抛物线上一点，是圆关于直线的对称圆上的一点，则最小值是（）

A． B． C． D．

12．已知集合，，若，则实数的值可以为（）

A． B． C． D．

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．设（其中为自然对数的底数），，若函数恰有4个不同的零点，则实数的取值范围为________.

14．已知函数在点处的切线经过原点，函数的最小值为，则________.

15．已知的终边过点，若，则__________．

16．如图，已知圆内接四边形ABCD，其中，，，，则__________．

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（12分）如图，在四棱柱中，底面为菱形，.

（1）证明：平面平面；

（2）若，是等边三角形，求二面角的余弦值.

18．（12分）已知函数，的最大值为．

求实数b的值；

当时，讨论函数的单调性；

当时，令，是否存在区间，，使得函数在区间上的值域为？若存在，求实数k的取值范围；若不存在，请说明理由．

19．（12分）某商场举行有奖促销活动，顾客购买每满元的商品即可抽奖一次.抽奖规则如下：抽奖者掷各面标有点数的正方体骰子次，若掷得点数大于，则可继续在抽奖箱中抽奖；否则获得三等奖，结束抽奖，已知抽奖箱中装有个红球与个白球，抽奖者从箱中任意摸出个球，若个球均为红球，则获得一等奖，若个球为个红球和个白球，则获得二等奖，否则，获得三等奖（抽奖箱中的所有小球，除颜色外均相同）.

若，求顾客参加一次抽奖活动获得三等奖的概率；

若一等奖可获奖金元，二等奖可获奖金元，三等奖可获奖金元，记顾客一次抽奖所获得的奖金为，若商场希望的数学期望不超过元，求的最小值.

20．（12分）已知数列中，a1=1，其前n项和为，且满足．

（1）求数列的通项公式；

（2）记，若数列为递增数列，求λ的取值范围．

21．（12分）已知函数，其导函数为，

（1）若，求不等式的解集；

（2）证明：对任意的，恒有.

22．（10分）在直角坐标系中，椭圆的左、右焦点分别为，点在椭圆上且轴，直线交轴于点，，椭圆的离心率为.

（1）求椭圆的方程；

（2）过的直线交椭圆于两点，且满足，求的面积.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、A

【解析】

根据题意，用表示出与，求出的值即可.

【详解】

解：根据题意，设，则

，

又，

，

，

故选：A.

【点睛】

本题主要考查了平面向量基本定理的应用，关键是要找到一组合适的基底表示向量，是基础题.

2、C

【解析】

由三视图可知，几何体是一个三棱柱，三棱柱的底面是底边为，高为的等腰三角形，侧棱长为，利用正弦定理求出底面三角形外接圆的半径，根据三棱柱的两底面中心连线的中点就是三棱柱的外接球的球心，求出球的半径，即可求解球的表面积.

【详解】

由三视图可知，

几何体是一个三棱柱，三棱柱的底面是底边为，高为的等腰三角形，

侧棱长为，如图：

由底面边长可知，底面三角形的顶角为，

由正弦定理可得，解得，

三棱柱的两底面中心连线的中点就是三棱柱的外接球的球心，