离散型随机变量的均值高二上学期数学人教B版（2019）选择性必修第二册.pptxVIP

4.2.4课时1

离散型随机变量的均值

第四章概率与统计

1.理解离散型随机变量的均值的意义和性质，会根据离散型随机变量的分布列求出均值；

2.掌握两点分布、二项分布、超几何分布的均值；

3.会利用离散型随机变量的均值解决一些相关的实际问题.

某商场如果把这三种糖果按3∶2∶1的比例混合销售，那么如何对糖果定价才比较合理呢？

18元/千克

24元/千克

36元/千克

情境：一家投资公司在决定是否对某创业项目进行资助时，经过评估后发现：如果项目成功，将获利5000万元；如果项目失败，将损失3000万元.

设这个项目成功的概率为p，而你是投资公司的负责人，如果仅从平均收益方面考虑，则p满足什么条件时，你才会对该项目进行资助？为什么?

问题：1.如果重复这个创业项目n次，那么成功和失败的次数分别是多少？平均收益是多少？此时p满足什么条件时，你才会对该项目进行资助？

项目成功的概率为p，则成功次数估计为np，失败次数估计为n-np=n(1-p).

因此在这n次试验中，投资方收益(单位：万元)的n个数据可以估计为

因为上述平均数体现的是平均收益，所以当

5000p+(-3000)(1-p)0，

即p0.375时，就应该对创业项目进行资助.

2.设投资公司的收益为X，试列出随机变量X的分布列.你有什么发现？

随机变量X的分布列如下

X

5000

-3000

P

p

1-p

从上面分析可知，式子5000p+(-3000)(1-p)刻画了X取值的平均水平.

一般地，如果离散型随机变量X的分布列如下表所示.

X

x1

x2

...

xk

...

xn

P

p1

p2

...

pk

...

pn

则称

为离散型随机变量X的均值或数学期望(简称为期望).

离散型随机变量X的均值E(X)也可以用EX表示，它刻画了X的平均取值.

0

1

0.3

0.2

C

讨论：已知随机变量X服从参数为p的两点分布，求E(X).

X

1

0

P

p

1-p

解：随机变量X服从参数为p的两点分布，其分布列如下

所以E(X)=1×p+0×(1-p)=p.

随机变量X

均值公式

服从参数为p的两点分布

E(X)=p

二项分布X~N(n，p)

超几何分布X~H(N，n，M)

E(X)=np

已知X是一个随机变量，且分布列如下表所示.

X

x1

x2

...

xk

...

xn

P

p1

p2

...

pk

...

pn

设a，b都是实数且a≠0，则Y=aX+b也是一个随机变量.

(1)列出Y的分布列，那么E(Y)如何表示？

(2)E(Y)与E(X)有什么联系？

Y

ax1+b

ax2+b

...

axk+b

...

axn+b

P

p1

p2

...

pk

...

pn

(1)随机变量Y的分布列为

离散型随机变量的均值的性质

1

2

3

例4随机抽取某厂的某种产品200件，经质检，其中一等品126件，二等品50件，三等品20件，次品4件．已知生产1件一、二、三等品获得的利润分别为6万元、2万元、1万元，而1件次品亏损2万元，设1件产品的利润(单位：元)为X．

(1)求X的分布列；

(2)求1件产品的平均利润(即X的数学期望)；

(3)经技术革新后，仍有四个等级的产品，但次品率降为1%，一等品率提高为70%，如果此时要求1件产品的平均利润不小于4.73万元，则三等品率最多是多少？

(3)设技术革新后的三等品率为x，则此时1件产品的平均利润为

E(X)＝6×0.7＋2×(1－0.7－0.01－x)＋1×x＋(－2)×0.01＝4.76－x(0≤x≤0.29)．

依题意，E(X)≥4.73，

即4.76－x≥4.73，

解得x≤0.03，所以三等品率最多为3%．

C

C

A