冀教版八年级下册数学教案 4.第二十一章 一次函数 21.4 一次函数的应用 第2课时 一次函数的综合应用.docVIP

第2课时一次函数的综合应用

课时目标

(一)教学知识点

1.经历运用一次函数解决实际问题的过程.

2.学会从情境捕捉数量关系,并根据数量关系直接列出函数表达式.

3.利用一次函数模型解决相关实际问题.

(二)能力训练目标

1.初步学会利用函数的意义和性质对问题进行判断和决策,增强运用函数解决问题的思想和意识.

2.体会解决问题方法的多样性,发展创新实践能力,培养学生的数学核心素养.

学习重点

灵活运用有关知识解决相关问题.

学习难点

灵活运用有关知识解决相关问题.

课时活动设计

回顾复习

我们前面学习了有关一次函数的一些知识及如何确定表达式,那么你能举出生活中一次函数的例子吗?如何利用一次函数知识解决相关实际问题呢?

这将是我们这节课要解决的主要问题.

设计意图:使学生感受一次函数在生活中的广泛应用,体会利用一次函数解决问题的好处.激发学生学习函数的兴趣,同时培养学生应用数学的意识.

情境导入

例甲骑自行车以10km/h的速度沿公路行驶,出发3h后,乙骑摩托车从同一地点出发沿公路与甲同向行驶,速度为25km/h.

(1)设甲离开出发地的时间为x(h),求:

①甲离开出发地的路程y(km)与x(h)之间的函数关系式,并指出自变量x的取值范围.

②乙离开出发地的路程y(km)与x(h)之间的函数关系式,并指出自变量x的取值范围.

(2)在同一直角坐标系中,画出(1)中两个函数的图像,并结合实际问题,解释两图像交点的意义.

解:(1)由公式s=vt,得

①甲离开出发地的路程y与x的函数关系式为y=10x.

自变量x的取值范围为x≥0.

②乙离开出发地的路程y与x的函数关系式为y=25(x-3),即y=25x-75.

自变量x的取值范围为x≥3.

(2)以上两个函数的图像如图所示.两个函数图像的交点坐标是(5,50),即甲出发5h后被乙追上(或乙出发2h后追上甲).此时,两人距离出发地50km.

设计意图:让学生学会从文字中提取自己所需的信息,把情境中涉及的数量及数量关系作深入分析,根据数量关系直接列出一次函数表达式,在同一个情境中出现了两个一次函数,再用一次函数的性质解决问题,让学生进一步体会“数形结合”的美妙之处.

小组讨论

对于上例中甲、乙行驶的情况,你能借助图像解释“乙出发多少小时后可以超过甲”这一问题吗?还有其他方法解答这个问题吗?

解:当x5时,y=25(x-3)的图像在y=10x的图像的上方,说明乙出发2小时后,乙可以超过甲,还可以用25z10(z+3)来解决这个问题.其中z表示乙离开出发地的时间.

设计意图:让学生感知有些一元一次方程和一元一次不等式问题,可以借助一次函数来考虑,借助一次函数的图像,往往能使方程和不等式的意义更加直观和形象,进一步体会数形结合的妙处.

一起探究

某电脑工程师张先生准备开一家小型电脑公司,欲租一处临街房屋,现有甲、乙两家出租屋,甲家已经装修好,每月租金为3000元;乙家未装修,每月租金为2000,但若装修成与甲家房屋同样的规格,则需要花装修费4万元.

(1)设租用时间为x个月,承租房屋所付租金为y元,分别求租用甲、乙两家的租金y与租用时间x之间的函数关系式.(租用甲家房屋时,y=3000x;租用乙家房屋时,y=2000x+40000)

(2)根据求出的两个函数表达式,试判断租用哪家的房屋更合算.

根据教材第103页,讨论:小亮和小丽的做法有什么不同?你是怎样做的?

(小亮是借助“式的比较”,小丽是借助“图像的比较”)

设计意图:让学生自己先思考如何解决这个问题,确定解决方案,再阅读小亮和小丽的做法,进行讨论,通过比较、鉴别、辨析,用“式”比较和用“图像”比较,两条途径一脉相承,从而优化解题方案.让学生从更广的范围、更高的层次认识数学知识和数学方法的关联性与一致性.

学以致用

1.某工厂开发生产一种新产品,前期投入150000元.生产时,每件成本为25元,每件销售价为40元.设生产x件时,总成本(包括前期投入)为m元,销售额为n元.

(1)分别求出m,n与x之间的函数关系式.

(2)至少生产并销售多少件产品后,工厂才会有盈利?

解:(1)m=25x+150000,n=40x.

(2)由题意,得40x25x+150000,解得x10000.

即至少生产并销售10000件产品后,工厂才会有盈利.

2.A,B两地相距36km,甲、乙二人分别从A地和B地同时出发,相向而行.他们距A地的路程s(km)和出发后的时间t(h)之间的函数关系的图像如图所示.

(1)甲行驶了几小时到达B地,乙行驶几小时到达A地?

(2)分别写出甲、乙二人距A地的路程s与时间t之间的函数关系式.

(3)求出两个图像交点的坐标,并解释交点坐标所表示的实际意义.

解:(1)甲行驶4.5小时到达B地,乙行驶6小时到达A地.

(2