新苏科版（2025）七年级数学下册第八章8.4.1 完全平方公式 课件.pptxVIP

8.4乘法公式

七年级(下册)

苏科版

第1课时完全平方公式

1.能推导完全平方公式，了解公式的几何背景，并能利用公式进行简单的计算；

2.在探索完全平方公式的过程中，进一步感悟数形结合的思想.

学习目标

如何进行多项式乘多项式的运算？

1

2

3

4

多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，

1

2

3

4

再把所得的积相加.

多×多

单×单

知识回顾

情境导入

情境导入

计算下列多项式的积：

(1)(a+1)2=__________=_________；

a2+2a+1

(2)(a-1)2=__________=_________；

a2-2a+1

(a+1)(a+1)

(a-1)(a-1)

(3)(m+2)2=___________=_________；

m2+4m+4

(4)(m-2)2=__________=_________.

m2-4m+4

(m+2)(m+2)

(m-2)(m-2)

a2+2a+12

a2-2a+12

m2+2×2m+22

m2-2×2m+22

新知探究

(a+b)2

(a-b)2

请你猜想：

=a2+2ab+b2

=a2-2ab+b2

用多项式乘法证明：

(a+b)2

=(a+b)(a+b)

=a2+ab+ab+b2

=a2+2ab+b2

(a-b)2

=(a-b)(a-b)

=a2-ab-ab+b2

=a2-2ab+b2

新知探究

借助几何图形证明：

如图，边长为(a+b)的正方形的面积是(a+b)2.

还可以看成两个小正方形和两个小长方形面积的和，

∴(a+b)2=a2+2ab+b2

即a2+ab+ab+b2，

新知探究

它的面积还可以看成大正方形的面积减去两个小长方形面积的差，

如图，边长为(a-b)的正方形的面积是(a-b)2.

∴(a-b)2=a2-2ab+b2.

a-b

即a2-ab-ab+b2

借助几何图形证明：

新知探究

完全平方公式

(a＋b)2=a2＋2ab+b2

(a－b)2=a2－2ab+b2

文字表述：

两个数的和的平方等于这两个数的平方和与它们积的2倍的和；

两个数的差的平方等于这两个数的平方和与它们积的2倍的差.

公式中的字母a、b既可以表示单项式又可以表示多项式.

新知探究

观察这两个公式并思考：

公式的左边有什么特点？右边呢？

把你的发现与小组里的同学相互交流一下.

左边是

的平方

右边是

两项和

(差)

积为二次三项式，

积中两项为两数的平方和，

另一项是两数积的2倍，

且与乘式中间的符号相同.

记忆口诀：“首平方，尾平方，积的2倍放中央，符号看前方”

讨论交流

两数和(或差)的平方

与公式中a对应的项

与公式中b对应的项

写成a2±2ab+b2的形式

计算结果

2x

3

1.填一填

(2x+3)2

(2x)2+2·(2x)·3+32

4x2+12x+9

(2x-3)2

2x

3

(2x)2-2·(2x)·3+32

4x2-12x+9

(-3x+2)2

-3x

2

(-3x)2+2·(-3x)·2+22

9x2-12x+4

m

(ab-c)2

ab

c

(ab)2-2·(ab)·c+c2

a2b2-2abc+c2

练一练

2.下面的计算是否正确？如有错误，请改正.

(1)(x+y)2＝x2+y2;

(2)(m+n)2＝m2+n2；

(3)(a−1)2＝a2−2a−1.

×

应改为:(x+y)2＝x2+2xy+y2

×

应改为:(-m+n)2＝(-m)2+2•(-m)n+n2

×

应改为:(a−1)2＝(a)2−2•(a)•1+12

练一练

例1用完全平方公式计算：

(1)(5+3p)2；

解:原式=

第一数

的平方,

加上

第一数

与第二数

乘积

的2倍,

加上

第二数

的平方.

52

+

5×3p

2×

+

(3p)2

=25+30p+9p2

典型例题

解：(2x－7y)2

＝(2x)2－2·2x·7y＋(7y)2

＝4x2－28xy＋49y2;

(2)(2x－7y)2；

(3)(－2a－5)2.

(－2a－5)2

＝(－2a)2－2·(－2a)·5＋52

＝4a2＋20a＋25.

典型例题

例1用完全平方公式计算：

解：(2x－7y)2

＝[2x＋(－7y)]2

＝(2x)2＋2·2x·(－7y)＋(－7y)2

＝4x2－28xy＋49y2;

(－2a－5)2

＝[－(2a＋5)]2

＝(2a＋5)2

＝(2a)2＋2·2a·5＋52

＝4a2＋20a＋25.

(2)(2x－7y)2；

(3)(－2a－5)2.

(ɑ+b)2=(-ɑ-b)