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2024届江苏省南通市重点中学高三下学期联合考试数学试题
注意事项:
1.答题前,考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚,将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2.答题时请按要求用笔。
3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、试卷上答题无效。
4.作图可先使用铅笔画出,确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5.保持卡面清洁,不要折暴、不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.如图所示,已知双曲线的右焦点为,双曲线的右支上一点,它关于原点的对称点为,满足,且,则双曲线的离心率是().
A. B. C. D.
2.在平面直角坐标系中,已知是圆上两个动点,且满足,设到直线的距离之和的最大值为,若数列的前项和恒成立,则实数的取值范围是()
A. B. C. D.
3.已知函数,若,则的取值范围是()
A. B. C. D.
4.已知函数,满足对任意的实数,都有成立,则实数的取值范围为()
A. B. C. D.
5.已知函数,关于的方程R)有四个相异的实数根,则的取值范围是(???????)
A. B. C. D.
6.已知全集,集合,则()
A. B. C. D.
7.若函数有且仅有一个零点,则实数的值为()
A. B. C. D.
8.函数图象的大致形状是()
A. B.
C. D.
9.已知,,则()
A. B. C. D.
10.设实数x,y满足条件x+y-2?02x-y+3?0x-y?0则
A.1 B.2 C.3 D.4
11.已知向量与的夹角为,,,则()
A. B.0 C.0或 D.
12.《九章算术》有如下问题:“今有金箠,长五尺,斩本一尺,重四斤;斩末一尺,重二斤,问次一尺各重几何?”意思是:“现在有一根金箠,长五尺在粗的一端截下一尺,重斤;在细的一端截下一尺,重斤,问各尺依次重多少?”按这一问题的颗设,假设金箠由粗到细各尺重量依次成等差数列,则从粗端开始的第二尺的重量是()
A.斤 B.斤 C.斤 D.斤
二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。
13.将底面直径为4,高为的圆锥形石块打磨成一个圆柱,则该圆柱的侧面积的最大值为__________.
14.设,分别是定义在上的奇函数和偶函数,且,则_________
15.若实数x,y满足约束条件,则的最大值为________.
16.若双曲线的两条渐近线斜率分别为,,若,则该双曲线的离心率为________.
三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.(12分)已知数列中,,前项和为,若对任意的,均有(是常数,且)成立,则称数列为“数列”.
(1)若数列为“数列”,求数列的前项和;
(2)若数列为“数列”,且为整数,试问:是否存在数列,使得对任意,成立?如果存在,求出这样数列的的所有可能值,如果不存在,请说明理由.
18.(12分)已知函数,曲线在点处的切线方程为
求a,b的值;
证明:.
19.(12分)已知函数有两个零点.
(1)求的取值范围;
(2)是否存在实数,对于符合题意的任意,当时均有?
若存在,求出所有的值;若不存在,请说明理由.
20.(12分)已知函数,.
(1)讨论函数的单调性;
(2)已知在处的切线与轴垂直,若方程有三个实数解、、(),求证:.
21.(12分)在直角坐标系中,曲线的参数方程为(为参数).以坐标原点为极点,轴正半轴为极轴,建立极坐标系.已知点的直角坐标为,过的直线与曲线相交于,两点.
(1)若的斜率为2,求的极坐标方程和曲线的普通方程;
(2)求的值.
22.(10分)如图,在四棱锥中,底面是边长为2的菱形,,.
(1)证明:平面平面ABCD;
(2)设H在AC上,,若,求PH与平面PBC所成角的正弦值.
参考答案
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1、C
【解析】
易得,,又,平方计算即可得到答案.
【详解】
设双曲线C的左焦点为E,易得为平行四边形,
所以,又,
故,,,
所以,即,
故离心率为.
故选:C.
【点睛】
本题考查求双曲线离心率的问题,关键是建立的方程或不等关系,是一道中档题.
2、B
【解析】
由于到直线的距离和等于中点到此直线距离的二倍,所以只需求中点到此直线距离的最大值即可。再得到中点的轨迹是圆,再通过此圆的圆心到直线距离,半径和中点到此直线距离的最大值的关系可以求出。再通过裂项的方法求的前项和,即可通过不等式来求解的取值范围.
【详解】
由,得,.设线段的中
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