艺考生专题讲义33 外接球.docx

考点33外接球

知识梳理

1.墙角模型

使用范围：3组或3条棱两两垂直；或可在长方体中画出该图且各顶点与长方体的顶点重合

(2)推导过程：长方体的体对角线就是外接球的直径

秒杀公式：

(4)图示过程

秒杀公式：

2.汉堡模型

(1)使用范围：有一条侧棱垂直与底面的柱体或椎体

(2)推导过程

第一步：取底面的外心O1,，过外心做高的的平行且长度相等，在该线上中点为球心的位置

第二步：根据勾股定理可得

(3)秒杀公式：

(4)图示过程

3.斗笠模型

(1)使用范围：正棱锥或顶点的投影在底面的外心上

(2)推导过程

第一步：取底面的外心O1,，连接顶点与外心，该线为空间几何体的高h

第二步：在h上取一点作为球心O

第三步：根据勾股定理

(3)秒杀公式：

(4)图示过程

4.切瓜模型

(1)使用范围：有两个平面互相垂直的棱锥

(2)推导过程：

第一步：分别在两个互相垂直的平面上取外心F、N，过两个外心做两个垂面的垂线，两条垂线的交点即为球心O，取BC的中点为M，连接FM、MN、OF、ON

第二步：

(3)秒杀公式：

(4)图示过程

精讲精练

题型一墙角模型

【例1】(2024·平罗中学高三期末)已知长方体的两个底面是边长为的正方形，长方体的一条体对角线与底面成角，则此长方体的外接球表面积为()

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】记该长方体为，为该长方体的一条体对角线，其与底面所成角为，

因为在长方体中，侧棱底面，

则为与底面所成角，即，

因为长方体的两个底面是边长为的正方形，所以，

则，所以，

又长方体的外接球直径等于其体对角线的长，

即该长方体外接球的直径为，

所以此长方体的外接球表面积为.故选：A.

【举一反三】

1．(2024·天津静海区·高三月考)若棱长为2的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为()

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】因为正方体的外接球的直径，

所以棱长为2的正方体外接球的直径，

所以该球的表面积.故选：A.

2．(2024·河南高三月考)已知长方体中，，，与平面所成角的正弦值为，则该长方体的外接球的表面积为()

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】作，垂足为，连接，.

因为平面平面，平面平面，平面，

所以平面，所以是与平面所成的平面角.

又，

.

所以，

解得.

故该长方体的体对角线为.

设长方体的外接球的半径为，则，解得.

所以该长方体的外接球的表面积为.故选B.

3．(2024·四川泸州市·高三一模)已知四棱锥中，四边形是边长为2的正方形，且平面，则该四棱锥外接球的表面积为()

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】由题意，四棱锥中，四边形是边长为2的正方形，

且平面，

可把四棱锥放置在如图所示的一个长方体内，

其中长方体的长、宽、高分别为，

则四棱锥的外接球和长方体的外接球表示同一个球，

设四棱锥的外接球的半径为，可得，解得，

所以该四棱锥外接球的表面积为.

故选：C.

题型二汉堡包模型

【例2】(2024·陕西西安市·高三一模)三棱柱中，棱两两垂直，，底面是面积为2的等腰直角三角形，若该三棱柱的顶点都在同一个球O的表面上，则球O的表面积为()

A．8 B． C． D．

【答案】C

【解析】底面是面积为2的等腰直角三角形，所以直角边长为2，所以三棱柱可以补充成边长为2的正方体，其外接球半径为：，

所以球O的表面积为，故选：C

【举一反三】

1．(2024·陕西咸阳市·高三一模)在直三棱柱中，，，若该直三棱柱的外接球表面积为，则此直三棱柱的高为()．

A．4 B．3 C． D．

【答案】D

【解析】因为，所以将直三棱柱补成长方体，则直三棱柱的外接球就是长方体的外接球，外接球的直径等于长方体的体对角线，

设球的半径为，则，解得，

设直三棱柱的高为，则，即，

解得，所以直三棱柱的高为，故选：D

2．(2024·山西吕梁市·高三一模)四面体中，面，，，，则四面体外接球的表面积为()

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】设外接圆的圆心为，四面体外接球的球心为，半径为

连接

由正弦定理可得，即，

即四面体外接球的表面积为

故选：A

3．(2024·山东德州市·高三期末)如图，在四棱锥中，底面为菱形，底面，O为对角线与的交点，若，，则三棱锥的外接球表面积为_________．

【答案】．

【解析】取中点，中点，连接，则，

因为底面，所以平面，是菱形，则，所以是的外心，

又底面，平面，所以，所以到四点距离相等，即为三棱锥的外接球球心．

又，，所以，所以，

所以三棱锥的外接球表面积为．

故答案为：．

题型三斗笠模型

【例3】正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为()