专题01 新高考情景下的创新定义问题（八大题型）-2025年高考数学二轮热点题型归纳与变式演练（新高考通用）（解析版）.docx

专题01新高考情景下的创新定义问题

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TOC\o1-1\h\u题型01集合中的新定义 1

题型02平面解析几何中距离的新定义 9

题型03函数中的新定义 17

题型04立体几何中的新定义 23

题型05概率与统计中的新定义 33

题型06导数中的新定义 42

题型07圆锥曲线中的新定义 52

题型08数列中的新定义 63

题型01集合中的新定义

【解题规律·提分快招】

1、集合新定义问题的方法和技巧

（1）可通过举例子的方式，将抽象的定义转化为具体的简单的应用，从而加深对信息的理解；

（2）可用自己的语言转述新信息所表达的内容，如果能清晰描述，那么说明对此信息理解的较为透彻；

（3）发现新信息与所学知识的联系，并从描述中体会信息的本质特征与规律；

（4）如果新信息是课本知识的推广，则要关注此信息与课本中概念的不同之处，以及什么情况下可以使用书上的概念.

2、解决以集合为背景的新定义问题的关键点

（1）准确转化：解决新定义问题时，一定要读懂新定义的本质含义，紧扣题目所给定义，结合题目的要求进行恰当转化，切忌同已有概念或定义相混淆.

（2）方法选取：对于新定义问题，可恰当选用特例法、筛选法、一般逻辑推理等方法，并结合集合的相关性质求解.

【典例训练】

一、解答题

1．（2024·北京西城·三模）记集合.对任意，，记，对于非空集合，定义集合.

(1)当时，写出集合；对于，写出；

(2)当时，如果，求的最小值；

(3)求证：.

（注：本题中，表示有限集合A中的元素的个数.）

【答案】(1)；

(2)5

(3)证明见解析

【分析】（1）根据定义直接写出集合，再根据的定义写出；

（2）设，则，则由题意可得，从而可求得结果；

（3）设A中的所有元素为，，…，，其中，记（），先利用反证法证明这些互不相等，再根据定义证明即可.

【详解】（1）；

若，则.

（2）的最小值为5.

证明如下：

设.

因为，除外，其它7个元素需由两个不同的，计算得到，

所以，解得.

当时，有，符合题意.

（3）证明：设A中的所有元素为，，…，，其中.

记（），则这些互不相等.

证明如下：如果存在，，

则，的每一位都相等，

所以，的每一位都相等，

从而，与集合A中元素的互异性矛盾.

定义集合，则.

又，

所以.

【点睛】关键点点睛：此题考查集合的新定义，考查集合间的关系，解题的关键是对集合新定义的正确理解，考查理解能力，属于难题.

2．（2024·全国·模拟预测）已知集合，若对任意的，，有或，则称集合为完美集合．

(1)分别判断集合与是否为完美集合；

(2)当时，若，求完美集合；

(3)若集合为完美集合，记，求证：．

【答案】(1)集合为完美集合，不是完美集合；

(2)；

(3)证明见解析.

【分析】（1）根据完美集的定义直接判断即可；

（2）根据完美集的定义及依次确定，即可得答案；

（3）根据完美集定义先确定，结合得到，又，把各项累加即可证结论.

【详解】（1）集合，当时，，

又，，

所以集合为完美集合．

集合，因为，

所以不是完美集合．

（2）因为，所以，所以，

因为，所以，故，即，

所以．

（3）因为，故，

所以，则．

因为，

所以，

所以，

所以．

因为，

所以，

又因为，

全部相加得，即，

所以，又，所以．

【点睛】关键点点睛：第三问，根据完美集定义确定，并得到，为关键.

3．（2024·浙江·二模）已知集合，记，，是自然数集

称函数，若对于任意，；

称函数是单调的，若对于任意，；

?称函数是次模的，若对于任意,

已知函数是次模的．

(1)判断是否一定是单调的，并说明理由；

(2)证明：对于任意，，；

(3)若是单调的，是正整数，，记，已知集合满足．初始集合，然后小明重复次如下操作：在集合中选取使得最小的元素加入集合，最终得到集合．证明：

【答案】(1)不一定是单调的，理由见解析

(2)证明见解析

(3)证明见解析

【分析】（1）根据题意依据次模函数定义举一反例即可.

（2）对任意，，可得出，且，从而根据函数是次模的结合次模函数定义条件即可得证.

（3）分和两种情况分析，时，显然成立；

若，取，根据题意得小明的每次操作均满足，进而左右两边累加即可得到，从而得证.

【详解】（1）构造次模函数，

则．

因此不一定是单调的．

（2）证明：对任意，因为，

所以，

且，

又因为函数是次模的，所以，

所以.

（3）①若，成立，得证.

②若，取，

则小明的每次操作均满足，

左右两边累加得，

即，故得证.

【点睛】方法点睛：解答新定义类题型的基本思路是：

（1）正确理解新定义；

（2）面对全新定义的规则要结合所学的知识、经验将问题转化成熟悉的问题或情