高三理科数学二轮复习讲义模块二专题六第二讲概率随机变量及其分布列.doc

专题六概率与统计、算法、复数、推理与证明

第二讲概率、随机变量及其分布列

1．考查古典概型、互斥事件、相互独立事件、独立重复试验等内容．

2．综合考查离散型随机变量的分布列、均值、方差和概率的计算问题.

1．(2017·济南模拟)某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两天为优良的概率是0.6.已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是()

A．0.8 B．0.75

C．0.6 D．0.45

[解析]设“一天的空气质量为优良”为事件A，“连续两天为优良”为事件AB，则已知某天的空气质量为优良，随后一天的空气质量为优良的概率为P(B|A)．由条件概率可知，P(B|A)＝eq\f(P?AB?,P?A?)＝eq\f(0.6,0.75)＝eq\f(4,5)＝0.8，故选A.

[答案]A

2．(2017·全国卷Ⅰ)如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图．正方形内切圆中的黑色部色和白色部分关于正方形的中心成中心对称．在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是()

A.eq\f(1,4) B.eq\f(π,8)

C.eq\f(1,2) D.eq\f(π,4)

[解析]设正方形的边长为2，则正方形的内切圆半径为1，其中黑色部分和白色部分关于正方形的中心对称，则黑色部分的面积为eq\f(π,2)，所以在正方形内随机取一点，此点取自黑色部分的概率P＝eq\f(\f(π,2),2×2)＝eq\f(π,8)，故选B.

[答案]B

3．(2017·全国卷Ⅱ)一批产品的二等品率为0.02，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取100次，X表示抽到的二等品件数，则D(X)＝________.

[解析]由题意知，X～B(100,0.02)，

∴D(X)＝np(1－p)＝100×0.02×0.98

＝1.96.

[答案]1.96

4．(2017·山东卷)在心理学研究中，常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人的影响，具体方法如下：将参加试验的志愿者随机分成两组，一组接受甲种心理暗示，另一组接受乙种心理暗示，通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用．现有6名男志愿者A1，A2，A3，A4，A5，A6和4名女志愿者B1，B2，B3，B4，从中随机抽取5人接受甲种心理暗示，另5人接受乙种心理暗示．

(1)求接受甲种心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的概率；

(2)用X表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数，求X的分布列与数学期望E(X)．

[解](1)记接受甲种心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的事件为M，

则P(M)＝eq\f(C\o\al(4,8),C\o\al(5,10))＝eq\f(5,18).

(2)由题意知X可取的值为0,1,2,3,4，则

P(X＝0)＝eq\f(C\o\al(5,6),C\o\al(5,10))＝eq\f(1,42)，

P(X＝1)＝eq\f(C\o\al(4,6)C\o\al(1,4),C\o\al(5,10))＝eq\f(5,21)，

P(X＝2)＝eq\f(C\o\al(3,6)C\o\al(2,4),C\o\al(5,10))＝eq\f(10,21)，

P(X＝3)＝eq\f(C\o\al(2,6)C\o\al(3,4),C\o\al(5,10))＝eq\f(5,21)，

P(X＝4)＝eq\f(C\o\al(1,6)C\o\al(4,4),C\o\al(5,10))＝eq\f(1,42).

因此X的分布列为

X

0

1

2

3

4

P

eq\f(1,42)

eq\f(5,21)

eq\f(10,21)

eq\f(5,21)

eq\f(1,42)

X的数学期望是

E(X)＝0×P(X＝0)＋1×P(X＝1)＋2×P(X＝2)＋3×P(X＝3)＋4×P(X＝4)＝0＋1×eq\f(5,21)＋2×eq\f(10,21)＋3×eq\f(5,21)＋4×eq\f(1,42)＝2.

考点一古典概型、几何概型、条件概率

1．古典概型的概率公式

P(A)＝eq\f(m,n)＝eq\f(事件A中所含的基本事件数,试验的基本事件总数).

2．几何概型的概率公式

P(A)＝eq\f(构成事件A的区域长度?面积或体积?,试验的全部结果所构成的区域长度?面积或体积?).

3．条件概率

在A发生的条件下B发生的概率

P(B|A)＝eq\f(P?AB?,P?A?)＝eq\f(n?AB?,n?A?).

[对点训练]

1．(2017·山东卷)从分别标有1,2，…，9的9张卡片中不放回地随机抽取2次，每次抽取1张．则抽到的2张卡片上的数奇偶性