新高考数学二轮复习 专题02 数列 解答题 巩固练习三（教师版）.docx

数列解答题巩固提升练习三

1.（2023·福建厦门·厦门外国语学校校考模拟预测）已知数列满足．

(1)证明为等差数列，并的通项公式；

(2)设，求数列的前项和．

【答案】(1)证明见解析，(2)

【解析】（1）证明：因为，所以，即

所以是以为首项，为公差的等差数列，则，所以；

（2）

.

2．（2023·江苏扬州·仪征中学校考模拟预测）已知数列的前项和为，且，.

(1)求的通项公式；

(2)记数列的前项和为，求集合中元素的个数.

【答案】(1)(2)

【解析】（1）因为，所以，所以

所以，即.又因为，所以，所以.

（2）因为，

所以

令，得，

所以集合中元素的个数为.

3．（2023秋·黑龙江哈尔滨·高三哈师大附中校考阶段练习）已知数列为等差数列，且，．

(1)求的通项公式；

(2)数列满足，数列的前项和为，求证：．

【答案】(1)(2)证明见解析

【解析】（1）设等差数列的公差为，

则，解得：，.

（2）由（1）得：，

，，.

4．（2023·全国·统考高考真题）已知为等差数列，，记，分别为数列，的前n项和，，．

(1)求的通项公式；

(2)证明：当时，．

【答案】(1)；(2)证明见解析.

【解析】（1）设等差数列的公差为，而，

则，

于是，解得，，所以数列的通项公式是.

（2）方法1：由（1）知，，，

当为偶数时，，，

当时，，因此，

当为奇数时，，

当时，，因此，

所以当时，.

方法2：由（1）知，，，

当为偶数时，，

当时，，因此，

当为奇数时，若，则

，显然满足上式，因此当为奇数时，，

当时，，因此，

所以当时，.

5．（2023·河南郑州·统考模拟预测）已知数列与的前项和分别为和，且对任意，恒成立.

(1)若，，求；

(2)若对任意，都有及恒成立，求正整数的最小值.

【答案】(1)；(2)3

【解析】（1）由题设，且，而，

显然也满足上式，故，由，又，

所以是首项、公差均为2的等差数列.综上，.

（2）由，，则，

所以，而，故，即是公比为3的等比数列.

所以，则，

，而，

所以，

所以对都成立，

所以，故，则正整数的最小值为3.

6．（2022·辽宁沈阳·东北育才学校校考一模）已知数列满足.

(1)求数列的通项公式；

(2)设，数列的前n项和，求证：.

【答案】(1)(2)证明见解析

【解析】（1）解：因为，

当时，，两式相减得，可得，

令，可得，所以数列的通项公式为.

（2）解：由（1）知，且，

当时，可得成立；

当时，，

所以，

因为，可得，可得，

所以，综上可得，.