2025年中考数学几何模型归纳训练(全国通用)专题27相似模型之托勒密定理与不等式模型解读与提分精练（附解析）.docxVIP

专题27相似模型之托勒密定理与不等式模型

相似三角形是几何中重要的证明模型之一，是全等三角形的推广，分析图形间的关系离不开数量的计算。相似和勾股是产生等式的主要依据（其他依据还有面积法，三角函数等），因此要掌握相似三角形的基本图形，体会其各种演变和联系。相似三角形是初中几何中的重要的内容，常常与其它知识点结合以综合题的形式呈现，其变化很多，是中考的常考题型。本专题重点讲解相似三角形的托勒密定理与托勒密不等式模型。

托勒密（Ptolemy）定理的历史，可追溯到公元2世纪，古希腊数学家和天文学家Ptolemy，他对三角学有很多贡献。该定理无论从内涵还是应用都极具魅力。从表面上看Ptolemy定理是关于边的等式，但由于四边形外接圆的存在，Ptolemy定理从一个侧面反映了角的关系。也许正因为如此，Ptolemy定理有了较好的应用背景。Ptolemy定理不但有着丰富的内涵，而且具备广泛的外延，而Ptolemy不等式就是其重要的拓展。

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模型1.托勒密（定理）模型 2

模型2.托勒密不等式模型 6

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模型1.托勒密（定理）模型

托勒密定理：四边形ABCD内接于圆，求证：．

证明：如图，在BD上取一点P，使其满足．

∵，∴，，即①

又，，∴，，．②

=1\*GB3①+②，有．

即，故．

特例：（1）当△ABC是等边三角形时，如图1，根据托勒密定理有：，

又等边△ABC有AB=AC=BC，故：．

特例：（2）当△ABC是等腰直角三角形，如图2，根据托勒密定理：，

又，代入可得结论：．

特例：（3）当△ABC是一般三角形时，如图2，根据托勒密定理可得：

又BC：AC：AB=a：b：c，代入可得结论：．

例1．（2024·湖北武汉·模拟预测）“托勒密定理”由依巴谷提出，其指出圆的内接四边形中，两条对角线的乘积等于两组对边乘积之和．如图，中有圆内接四边形，已知，，，，则（????）

??

A． B． C． D．

例2．（2024·浙江·模拟预测）某著作讲述了制作弦表的原理，其中涉及如下定理：任意凸四边形中，两条对角线的乘积小于或等于两组对边乘积之和，当且仅当凸四边形的对角互补时取等号．如图，四边形内接于半径为的圆，，，，则四边形的周长为(???)

A． B． C． D．

例3．（2023·河南商丘·模拟预测）请阅读下列材料，完成相应的任务：

克罗狄斯?托勒密（，约90年-168年），“地心说”的集大成者，生于埃及，著名的天文学家，地理学家，占星学家和光学家．

托勒密定理实出自依巴谷（）之手，托勒密从他的书中摘出并加以完善．

托勒密定理：圆的内接四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积．

已知：如图1，四边形内接于，求证：下面是该结论的证明过程：

证明：如图1，作，交于点.，

（依据1），（依据2），

，，.

，，即，

，，

．

任务：(1)托勒密定理的逆命题是______；上述证明过程中的“依据1”为______；“依据2”为______．

(2)当圆内接四边形是矩形时，托勒密定理就是我们非常熟知的一个定理：______．

(3)如图2，以为直径的中，点为上一点，且，的角平分线交于点，连接，，若，求的长．

例4．（23-24九年级上·浙江衢州·期中）如图，四边形ABCD内接于⊙O．

(1)连接AC、BD，若∠BAC＝∠CAD＝60°，则△DBC的形状为．

(2)在(1)的条件下，试探究线段AD，AB，AC之间的数量关系，并证明你的结论；

(3)若，∠DAB＝∠ABC＝90°，点P为上的一动点，连接PA，PB，PD，求证：PD＝PB+PA．

例5．（24-25九年级上·江苏盐城·阶段练习）【给出问题】：已知：是正方形的外接圆，点P在上（除A、B外），试求的度数．

【分析问题】：善于思考的小明在分析上述题目后，有了以圆为工具来解决问题的思路．用圆来画出准确的示意图就能顺利解题了，在此基础上进一步探索就有了新发现．请善于思考的你帮助解答以下问题：

（1）①尺规作图，在中作出内接正方形（保留痕迹，不写作法）．②原题中．

【深入思考】（2）【问题】如图1，若四边形是的内接正方形，点P为弧上一动点，连接，请探究三者之间或者三者之间有何数量关系，并给予证明．

（3）【拓展】如图2，若六边形是的内接正六边形，点P为弧上一动点，请探究三者之间有何数量关系：（不写证明过程）．

（4）【应用】如图3，若四边形是矩形，点P为边上一点，，，，试求矩形的面积．

??

例6．（2024·山东德州·一模）△ABC是⊙O的内接三角形，点P是⊙O上一点，且点P与点A在BC的两侧，连接PA，PB，