2025年中考数学几何模型归纳训练(全国通用)专题29解直角三角形模型之新定义模型解读与提分精练（附解析）.docxVIP

专题29解直角三角形模型之新定义模型

解直角三角形的新定义模型，是体现选拔功能的试题中对初高中知识衔接的考查。高中数学为这类试题的命制提供了广阔的空间背景，命题者将高中数学的一些概念、定理、法则、公式等初中化（用初中数学知识内容包装、初中试题命制技术设置）处理，命制出具有高中数学背景味道的试题。这类试题往往对学生思维能力和创新能力要求较高，能有效检验学生是否具备进入高中学习的潜能，所以平时教学挖掘这方面解题技能及功效尤为重要。恰当地构建模型可以拓宽解题思路，优化解题过程，丰富解题内涵。

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模型1.新定义模型 1

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模型1.新定义模型

新定义模型主要包含高中数学中的三角函数和解三角形的相关公式定理（如：正弦定理、余弦定理、面积公式、同角三角函数基本关系、和、差、二倍角公式等），而这些大部分定理（公式）也可利用初中数学知识证明。

若无特殊说明，一般认为△ABC的3个角∠A、∠B、∠C，分别对应边a、b、c；

图1图2图3

1）正弦定理：如图1，（其中R是三角形外接圆的半径）。

证明：作△ABC的外接圆，记圆心为O，作直径，连接，如图2，

则，，∴，∴，

同理，，，∴；

2）正弦面积公式：如图1，.

证明：如图3，过点A作AD⊥BC，垂足为D，

在中，，∴，∴，

在中，，∴．∴．

同理可得．因此有．

3）余弦定理：如图2，．

证明：如图3，在中，，，的对边分别是，，过点A作于点，

则，即，于是．

在中，，在中，，

，整理得。

同理：；。

图4图5

4）同角三角函数的基本关系式:，。

证明：如图4，设∠A=，∵在Rt△ABC中，∠C=90°，∴a2+b2=c2。

又∵，，∴；。

5）和（差）、二倍角角公式（只作部分公式证明）：

;（已证）.

;.

（已证）.

证明：如图4，在中，在Rt△ABC中，∠C=90°，设∠A=。

如图5，取的中点，连接，即：，过点作于点，则，

利用锐角三角函数在中表示，。

∵（等面积），即；

在中，，则。

例1．（2024·山西大同·三模）阅读与思考

阅读下列材料，并解决后面的问题．

在锐角中，，，的对边分别是a，b，c，过C作于E（如图1），则，，即，，于是，即．同理有，，所以．即：在一个锐角三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等．

运用上述结论和有关定理，在锐角三角形中，已知三个元素（至少有一条边），就可以求出其余三个未知元素．根据上述材料，完成下列各题：(1)如图1，在中，，，，则______；

(2)如图2，一艘轮船位于灯塔P的南偏东方向，距离灯塔50海里的A处，它沿正北方向航行一段时间后，到达位于灯塔北偏东方向上的B处，此时B处与灯塔的距离为______海里；（结果保留根号）

(3)在（2）的条件下，试求的正弦值．（结果保留根号）

例2．（2024·湖南衡阳·模拟预测）【材料阅读】如图1，在△ABC中，设的对边分别为a，b，c，过点A作，垂足为D，会有，则=，即，同理，．有以上三式可得：

正弦定理：，通过推理还可以得到另一个表达三角形边角关系的定理-余弦定理

如图2，在中，设的对边分别为a，b，c，则①

②③用以上的公式和定理解决问题：

【简单应用】（1）在锐角中，设的对边分别为a，b，c，且，求；

（2）如图3，在中，，，求的面积与周长．

【灵活应用】（3）如图4，在中，角所对的边分别为，已知，的面积为，设为的中点，且，求的周长．（参考数据：）

??

例3．（2024·广东·二模）问题提出：已知任意三角形的两边及夹角，求三角形的面积．

问题探究：为了解决上述问题，我们先由特殊到一般来进行探究．

探究一：如图1，在中，，，，，求的面积．

在中，，．．

探究二：如图2，中，，，，求的面积（用含、、代数式表示），写出探究过程．

探究三：如图3，中，，，，求的面积（用、、表示）写出探究过程．

问题解决：已知任意三角形的两边及夹角，求三角形的面积方法是：___________（用文字叙述）．

问题应用：如图4，已知平行四边形中，，，，求平行四边形的面积（用、、表示）写出解题过程．

问题拓广：如图5所示，利用你所探究的结论直接写出任意四边形的面积（用、、、、、表示），其中，，，，，．

例4．（2023·云南昆明·二模）【问题引入】古希腊几何学家海伦和我国南宋数学家秦九韶都曾提出利用三角形的三边求面积