安庆师范大学《实变函数》2021-2022学年期末模拟试卷.docxVIP

安庆师范大学《实变函数》2021-2022学年期末模拟试卷

学校：__________姓名：__________班级：__________考号：__________

一、单项选择题

1．有理数的全体构成一个()。

A.有限集B.可数集

C.不可数集D.无法判定

2．有限个可数集的并集是（）。

A.有限集 B.可数集

C.不可数集 D.无法确定

3．设A=（0，1），B=［0，1］，则（）。

A． B．=

C． D．无法比较

4．设f(x)在E＝［a,b］上可积，en=E［｜f｜n］，则=()

A.0 B.mE

C.b-a D.+∞

5．若简单函数列{fn(x)}满足|fn(x)|≤|fn+1(x)|，则fn(x)一定是（）

A.简单函数 B.可测函数

C.连续函数 D.可积函数

6．设An(n=1,2,…)是一列递增集合，F=An，G=An，则F与G的外测度满足()

A.m*Fm*G B.m*F=m*G

C.m*Fm*G D.不能确定

7．设{Fn}是一列闭集，F=Fn,则F一定是()

A.开集 B.闭集

C.开集，也是闭集 D.不能确定

8．设Q是R中有理数的全体，,则在R2中Q2的闭包是

A.Q2 B.φ

C.R2 D.R2\Q2

9．在R2中，设An是可数集，An，An是可测集，且m*(E－An)→0(n→∞)，则E是

A.可测集 B.可数集

C.不可数集 D.不可测集

10．设f(x)在ERn有定义，ω(E,f)表示f(x)在E上的振幅，BA，则有()

A.ω(B,f)ω(A,f)B.ω(B,f)=ω(A,f)

C.ω(B,f)ω(A,f)D.ω(B,f)≤ω(A,f)

二、判断题

11．Cantor三分集P中点全是界点.（）

12．任意集列{An}的上限集不一定存在．（）

13．设f(x)在E上非负可积，en=E［f≥n］，则.（）

14．y=f(x)在［a，b］满足Lipschitz条件，则y=f(x)在［a，b］能表示为两个增函数之差.（）

15．实直线R上的有理数全体构成一个Lebesgue外测度为零的集合.()

16．设f(x)=，则f(x)是不可测函数.（）

17．一列开集的交集是开集.()

18．y=f(x)在［a,b］满足Lipschitz条件，则f(x)在［a,b］上绝对连续.

19．Cantor三分集中点是聚点.()

20．Lebesgue可测集一定能够表示为一个Fσ型集与零测度集的并集.

三、填空题

21．设A是Rn中任一点集，则A的导集A′是一个______集.

22．设f(x),g(x)是E上的可测函数，则是_________________.

23．设An＝（－2－，1－］，则=_______________．

24．设f(x)在x0处连续,(x0)是f(x)在x0处的振幅,则(x0)=_______________．

25．设E=I1×I2，其中I1与I2分别是Rp与Rq中的左开右闭区间，Ex表示E关于x的截面，则当x∈I1时，mEx=______.

26．区间［a,b］上的函数F(x)是f(x)的一个不定积分是指___________________________

_____________________________.

27．设A2n－1=［0,］，A2n=［0,n］,n=1,2,…，则An=__________.

28．______.

29．设mAn=0(n=1,2,…)，则m()=______.

30．设f(x)在E上可积，则对任意可测集AE，有________。

四、综合题

31．设f(x)是E上的可测函数，，证明f(x)=0a.e.于E.

32．问f(x)=是不是［0，1］上的有界变差函数？为什么？

33．利用Lebesgue控制收敛定理，说明存在，并求之.

34．设E可测,试证明:对于任意ε0,存在开集G与闭集F使得FEG且m(G-E)ε,

m(E-F)ε.