专题03 新高考情景下的结构不良问题（四大题型）-2025年高考数学二轮热点题型归纳与变式演练（新高考通用）（原卷版）.docx

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专题03新高考情景下的结构不良问题

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TOC\o1-1\h\u题型01解三角形结构不良 1

题型02数列结构不良 2

题型03立体几何结构不良 2

题型04圆锥曲线结构不良 4

题型01解三角形结构不良

【解题规律·提分快招】

一、“结构不良问题”的解题策略

（1）题目所给的三个可选择的条件是平行的，无论选择哪个条件，都可解答题目；

（2）在选择的三个条件中，并没有哪个条件让解答过程比较繁杂，只要推理严谨、过程规范，都会得满分，但计算要细心、准确，避免出现低级错误导致失分．

二、“正弦定理”与“余弦定理”的选用策略

在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更合适，或是两个定理都要用，要抓住能够利用某个定理的信息．

（1）如果式子中含有角的余弦或边的二次式时，要考虑用余弦定理；

（2）如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；

（3）以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．

三、“边化角”或“角化边”的变换策略

（1）若式子中含有正弦的齐次式，优先考虑正弦定理“角化边”；

（2）若式子中含有、、的齐次式，优先考虑正弦定理“边化角”；

（3）若式子中含有余弦的齐次式，优先考虑余弦定理“角化边”；

（4）代数式变形或者三角恒等变换前置；

（5）含有面积公式的问题，要考虑结合余弦定理求解；

（6）同时出现两个自由角（或三个自由角）时，要用到三角形的内角和定理．

【典例训练】

一、解答题

1．（2024·北京·三模）在中，，．

(1)求证：为等腰三角形；

(2)再从条件①?条件②?条件③这三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一，求的值．

条件①：；条件②：的面积为；条件③：边上的高为3．

2．（2024·四川宜宾·二模）在中，角所对的边分别是，在下面三个条件中任选一个作为条件，解答下列问题，三个条件为：

①；②；③.

(1)求角A的大小；

(2)若，求的值.

3．（2024·全国·模拟预测）在①；②两个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答该问题．在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且______．

(1)求角B的大小：

(2)若点D在的延长线上，且，，求面积的最大值．

4．（2024·四川南充·三模）已知函数．

(1)求函数的单调递增区间；

(2)在中，a，b，c分别是角A、B、C所对的边，记的面积为S，从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立．

①；②；③．

注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．

5．（2024·全国·模拟预测）已知中，内角的对边分别为，且．

(1)求角A；

(2)若，角A的平分线交边于，在下列三个条件中选择一个作为已知，求．

①；②点A在以为焦点的椭圆上；③的面积为．

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．

题型02数列结构不良

【解题规律·提分快招】

一、数列中的结构不良问题

1．“结构不良问题”：题目所给的三个可选择的条件是平行的，即无论选择哪个条件，都可解答题目，而且，在选择的三个条件中，并没有哪个条件让解答过程比较繁杂，只要推理严谨、过程规范，都会得满分．

2．数列求和的常用方法：

（1）对于等差等比数列，利用公式法直接求和；

（2）对于型数列，其中是等差数列，是等比数列，利用错位相减法求和；

（3）对于型数列，利用分组求和法；

（4）对于型数列，其中是公差为的等差数列，利用裂项相消法求和．

3．常见的裂项公式：

（1）；

（2）；

（3）；

（4）；

（5）．

【典例训练】

一、解答题

1．（2024·广西贺州·一模）在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答．

设是递增的等比数列，其前n项和为，且，__________．

(1)求的通项公式；

(2)若数列满足，求数列的前项和．

（注：若选择多个解答，按第一个解答计分）

2．（2024·全国·模拟预测）已知正项数列满足.

(1)从下面两个条件中任选一个作为已知条件，求数列的通项公式；

条件①：当时，；

条件②：数列与均为等差数列；

(2)在（1）的基础上，设为数列的前n项和，证明：.

注：若选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分.

3．（2024·青海西宁·二模）已知数列，_______________.请从下列两个条件中任选一个，补充在上面的问题中并解答.（注：如果选择多个条件，按照第一个解答给分.）①数列的前项和为（）；②数列的前项之积为（）.

(1)求数列的通项公式；

(2)令，求数列的前项和.

4．（2024·陕西西安·模拟预测）在①，，，成等比数列，②，，③，，这三个条件中任选一个，补充到下面的问题中并作答．

问题：已知